Question

13．如圖1所示，M、N為豎直放置的平行金屬板，兩板間所加電壓為U₀，S₁、S₂為板上正對(duì)的小孔．金屬板P和Q水平放置在N板右側(cè)，關(guān)于小孔S₁、S₂所在直線對(duì)稱，兩板的長(zhǎng)度和兩板間的距離均為l；距金屬板P和Q右邊緣l處有一熒光屏，熒光屏垂直于金屬板P和Q；取屏上與S₁、S₂共線的O點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為正方向建立x軸．M板左側(cè)電子槍發(fā)射出的電子經(jīng)小孔S₁進(jìn)入M、N兩板間．電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，初速度可以忽略．不計(jì)電子重力和電子之間的相互作用．

（1）求電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小v；
（2）若板P、Q間只存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子剛好經(jīng)過P板的右邊緣后，打在熒光屏上．求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B和電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x；
（3）若金屬板P和Q間只存在電場(chǎng)，P、Q兩板間電壓u隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖2所示，單位時(shí)間內(nèi)從小孔S₁進(jìn)入的電子個(gè)數(shù)為N．電子打在熒光屏上形成一條亮線．忽略電場(chǎng)變化產(chǎn)生的磁場(chǎng)；可以認(rèn)為每個(gè)電子在板P和Q間運(yùn)動(dòng)過程中，兩板間的電壓恒定．
a．試分析在一個(gè)周期（即2t₀時(shí)間）內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)是否相同．
b．若在一個(gè)周期內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)相同，求2t₀時(shí)間內(nèi)打到單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)n；若不相同，試通過計(jì)算說明電子在熒光屏上的分布規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）電子在加速電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小v；
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．電子離開磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求x；
（3）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求得離開電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)的距離x₁．電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)外做勻速直線運(yùn)動(dòng)，也運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解求出電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x．對(duì)于有電子穿過P、Q間的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行討論，在任意△t時(shí)間內(nèi)，P、Q間電壓變化△u相等，在任意△t時(shí)間內(nèi)，亮線長(zhǎng)度△x相等．所以在一個(gè)周期內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)相同．
根據(jù)電子在P、Q電場(chǎng)中的側(cè)移量，求出偏轉(zhuǎn)電壓u，再求出電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量，求出亮線的長(zhǎng)度，即可求得單位長(zhǎng)度亮線上的電子數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$①
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓運(yùn)動(dòng)半徑為 R，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，

由幾何關(guān)系${R^2}={l^2}+{（R-\frac{l}{2}）^2}$
解得：$R=\frac{5}{4}l$
根據(jù)牛頓第二定律：$Bev=m\frac{v^2}{R}$
解得：$B=\frac{4}{5l}\sqrt{\frac{{2m{U_0}}}{e}}$
設(shè)圓弧所對(duì)圓心為α，滿足：$sinα=\frac{l}{R}=\frac{4}{5}$
由此可知：$tanα=\frac{4}{3}$
電子離開磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，滿足幾何關(guān)系：$\frac{{x-\frac{l}{2}}}{l}=tanα$
通過上式解得坐標(biāo)$x=\frac{11}{6}l$
（3）a．設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)PQ中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，PQ間的電壓為u
垂直電場(chǎng)方向：l=vt₁②
平行電場(chǎng)方向：${x_1}=\frac{1}{2}a{t_1}^2$③
此過程中電子的加速度大小 $a=\frac{eu}{ml}$④
①、②、③、④聯(lián)立得：${x_1}=\frac{ul}{{4{U_0}}}$
電子出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，

在x方向的速度    v_x=at₁⑤
電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)外做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t₂到達(dá)熒光屏．則
水平方向：l=vt₂⑥
豎直方向：x₂=v_xt₂⑦
①、⑤、⑥、⑦聯(lián)立，解得：${x_2}=\frac{ul}{{2{U_0}}}$
電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)$x={x_1}+{x_2}=\frac{{3{l^{\;}}}}{{4{U_0}}}u$⑧
對(duì)于有電子穿過P、Q間的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行討論：
由圖2可知，在任意△t時(shí)間內(nèi)，P、Q間電壓變化△u相等．
由⑧式可知，打在熒光屏上的電子形成的亮線長(zhǎng)度$△x=\frac{{3{l^{\;}}}}{{4{U_0}}}△u$．
所以，在任意△t時(shí)間內(nèi)，亮線長(zhǎng)度△x相等．
由題意可知，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子個(gè)數(shù)是相同的．也就是說，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子都分布在相等的亮線長(zhǎng)度△x范圍內(nèi)．因此，在一個(gè)周期內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)相同．
b．現(xiàn)討論2t₀時(shí)間內(nèi)，打到單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)：
當(dāng)電子在P、Q電場(chǎng)中的側(cè)移量x₁=$\frac{l}{2}$時(shí)，
由${x_1}=\frac{ul}{{4{U_0}}}$得：u=2U₀
當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓在0～±2U₀之間時(shí)，射入P、Q間的電子可打在熒光屏上．
由圖2可知，一個(gè)周期內(nèi)電子能從P、Q電場(chǎng)射出的時(shí)間$t=\frac{2}{3}T=\frac{{4{t_0}}}{3}$
所以，一個(gè)周期內(nèi)打在熒光屏上的電子數(shù)$Nt=\frac{{4N{t_0}}}{3}$
由⑧式，電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量${x_m}=\frac{3l}{2}$
亮線長(zhǎng)度L=2x_m=3l
所以，從0～2t₀時(shí)間內(nèi)，單位長(zhǎng)度亮線上的電子數(shù)$n=\frac{Nt}{L}=\frac{{4N{t_0}}}{9l}$
答：（1）求電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小是$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B是$\frac{4}{5l}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{e}}$，電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)是$\frac{11}{6}l$；
（3）a．在一個(gè)周期（即2t₀時(shí)間）內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)是相同的．
b．若在一個(gè)周期內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)相同，2t₀時(shí)間內(nèi)打到單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)是$\frac{4N{t}_{0}}{9l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)問題，電場(chǎng)中加速根據(jù)動(dòng)能定理求解獲得的速度、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解和合成，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行分析，難度較大．