Question

9．如圖所示，在水平光滑軌道PQ上有一個(gè)輕彈簧，其左端固定，現(xiàn)用一質(zhì)量m=2.0kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后釋放，物塊離開彈簧后經(jīng)過水平軌道右端恰好沿半圓軌道的切線進(jìn)入豎直固定的軌道，小物塊進(jìn)入半圓軌道后恰好能沿軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)后滑上質(zhì)量M=8.0kg的長木板，最后恰好停在長木板最左端，已知豎直半圓軌道光滑且半徑R=0.5m，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，木板與水平地面間摩擦不計(jì)，取g=10m/s²．求：

（1）彈簧具有的彈性勢能；
（2）小物塊滑到半圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（3）為使小物塊不從木板上掉下來，木板最小長度．

Answer 1

分析 （1）小物塊進(jìn)入半圓軌道后恰好能沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓軌道最高點(diǎn)恰好由重力充當(dāng)向心力，由此求出對(duì)應(yīng)的臨界速度，根據(jù)能量守恒定律求解彈簧具有的彈性勢能．
（2）根據(jù)物塊由頂端滑到底端過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒和牛頓定律求解小物塊滑到半圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）對(duì)物體與木板組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求解木板最小長度．

解答 解：（1）物體進(jìn)入軌道后恰好沿軌道運(yùn)動(dòng)，在圓軌道最高點(diǎn)有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
根據(jù)能量守恒定律得：
彈簧具有的彈性勢能：E_p=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}mgR$=$\frac{1}{2}×2×10×0.5$J=5J…②
（2）物塊由頂端滑到底端過程，由機(jī)械能守恒定律得：
   mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$…③
物塊在軌道底端，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$…④
解得：F=6mg=120N…⑤
由牛頓第三定律得物塊對(duì)軌道的壓力為120N…⑥
（3）物塊在木板上滑行時(shí)，對(duì)物體塊與木板組成的系統(tǒng)，取水平向左為正方，由動(dòng)量守恒定律得：mv₂=（m+M）v″…⑦
設(shè)木塊的長度為s，由能量守恒定律得：μmgs=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$$\frac{1}{2}$（m+M）v″²…⑧
聯(lián)立，并代入已知，解得：s=5m…⑨
答：（1）彈簧具有的彈性勢能是5J
（2）物塊滑到半圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力是120N
（3）木板的長度是5m．

點(diǎn)評(píng) 此題要求能熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式處理復(fù)雜的力學(xué)問題，把握每個(gè)過程之間的聯(lián)系是關(guān)鍵，要知道物塊恰好通過圓軌道時(shí)，在圓軌道最高點(diǎn)由重力提供向心力．