Question

4．如圖真空中有一半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，其直徑OC與x軸重合．磁場(chǎng)左邊界與坐標(biāo)原點(diǎn)0相切，圖示虛線MN平行于y軸且與圓形磁場(chǎng)右邊界相切于C點(diǎn)，MN左側(cè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域外存在著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)區(qū)域足夠大，在距坐標(biāo)原點(diǎn)3r處有一與y軸平行的接收屏PQ，虛線右側(cè)與接收屏之間為真空區(qū)域．一質(zhì)子從電場(chǎng)中坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$L，L）的A點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域作半徑也為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知質(zhì)子質(zhì)量為m，電量為e．重力不計(jì)．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）質(zhì)子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)MN所用的時(shí)間；
（4）質(zhì)子最終打在接受屏上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子由A到O的過程中只受到電場(chǎng)力的作用，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）質(zhì)子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）結(jié)合質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)的方向和粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，畫出質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出質(zhì)子偏轉(zhuǎn)的角度，結(jié)合質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期即可求出質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；結(jié)合軌跡上的幾何關(guān)系確定質(zhì)子射出磁場(chǎng)的位置．質(zhì)子離開磁場(chǎng)后在電場(chǎng)力做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性即可求出質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求和即可；
（4）質(zhì)子離開磁場(chǎng)后在電場(chǎng)力做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解即可求出質(zhì)子離開電場(chǎng)時(shí)的位置以及速度的方向．質(zhì)子離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和公式即可求出質(zhì)子最終打在接受屏上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）質(zhì)子電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：$2\sqrt{3}L={v}_{0}{t}_{1}$
豎直方向：$L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
又：a=$\frac{e•E}{m}$
聯(lián)立得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6eL}$
（2）質(zhì)子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)豎直方向的分速度：v_y=at₁
聯(lián)立得：${v}_{y}=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
質(zhì)子的合速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，所以：
$evB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{mv}{er}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3er}$
（3）質(zhì)子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)與水平方向之間的夾角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以：θ=30°
質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系畫出質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則：

由于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)的半徑相等，而且質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度的方向與水平方向之間的夾角是30°，所以質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡一定過磁場(chǎng)的圓心，而且質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角是120°，所以質(zhì)子離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)的方向是豎直向上，在電場(chǎng)中做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)，然后再次返回磁場(chǎng)，結(jié)合幾何關(guān)系可知，質(zhì)子將在偏轉(zhuǎn)60°后在C點(diǎn)離開磁場(chǎng)的區(qū)域．質(zhì)子從O點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的過程可以分成三個(gè)階段．
質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πr}{\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}πr}{{v}_{0}}$
質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系：$\frac{θ}{360°}=\frac{t}{T}$
所以質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{120°+60°}{360°}•T=\frac{1}{2}T=\frac{\sqrt{3}πr}{2{v}_{0}}$
質(zhì)子向上進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}=2×\frac{v}{a}=\frac{2×\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}}{\frac{e}{m}•\frac{m{v}_{0}^{2}}{6eL}}=\frac{8\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$
質(zhì)子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)MN所用的時(shí)間：t=${t}_{2}+{t}_{3}=\frac{\sqrt{3}πr+16\sqrt{3}L}{2{v}_{0}}$
（4）由（3）的分析可知，質(zhì)子離開MN時(shí)的位置在C點(diǎn)，質(zhì)子再次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角是60°，由幾何關(guān)系可知，質(zhì)子離開MN時(shí)與水平方向之間的夾角是30°，質(zhì)子到達(dá)光屏的時(shí)間：${t}_{4}=\frac{3r-2r}{v•cos30°}=\frac{r}{\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}×\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{r}{{v}_{0}}$
質(zhì)子在豎直方向的位移：y=v•sin30°•t₄=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}×\frac{1}{2}×\frac{r}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}r$
結(jié)合圖中的幾何關(guān)系可知，該點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3r，$\frac{\sqrt{3}}{3}r$）
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6eL}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3er}$；
（3）質(zhì)子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)MN所用的時(shí)間是$\frac{\sqrt{3}πr+16\sqrt{3}L}{2{v}_{0}}$；
（4）質(zhì)子最終打在接受屏上的點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（3r，$\frac{\sqrt{3}}{3}r$）．

點(diǎn)評(píng) 該題中，質(zhì)子分別在電場(chǎng)中和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)判斷出質(zhì)子偏轉(zhuǎn)的圓心角為120°，速度的方向豎直向上是該題解答的關(guān)鍵，然后再求時(shí)間．