Question

作為我國(guó)對(duì)月球?qū)嵤�無(wú)人探測(cè)的第二階段任務(wù)，“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星預(yù)計(jì)在2011年前發(fā)射，登月器也將指日登陸月球．質(zhì)量為m的登月器與航天飛機(jī)連接在一起，隨航天飛機(jī)繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們運(yùn)行到軌道的A點(diǎn)時(shí)，登月器被彈離，航天飛機(jī)速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點(diǎn)，在月球表面逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速起動(dòng)仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)A并立即與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接．已知月球表面的重力加速度為g_月．試求：
（1）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后，航天飛機(jī)的橢圓軌道半長(zhǎng)軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力列出等式求解
（2）對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，根據(jù)周期關(guān)系列出等式求解．

解答：解：（1）設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，
因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，
所以應(yīng)用牛頓第二定律有
G

Mm

(3R)2

=m(

2π

T

)2?3R…①
在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，
即G

Mm0

R2

=m0g月…②
聯(lián)立①②解得T=6π

3R g月

…③
（2）設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₁，航天飛機(jī)在大橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₂．
對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律分別有

T2

(3R) 3

=

T 2 1

(2R)3

…④

T2

(3R) 3

=

T 2 2

(4R)3

…⑤
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足
t=nT₂-T₁  （其中，n=1、2、3、…）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得 t=4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是6π

3R g月

（2）若登月器被彈射后，航天飛機(jī)的橢圓軌道半長(zhǎng)軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）

點(diǎn)評(píng)：該題考查了萬(wàn)有引力定律及圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)公式的直接應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．