Question

9．如圖所示，兩同心圓半徑分別為r₁=R和r₂=（$\sqrt{2}$+1）R．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直于圓面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子從圓心處以速率v出發(fā)沿圓面運(yùn)動(dòng)而恰好不能穿越大圓所包圍的區(qū)域，不計(jì)重力．則
（1）環(huán)形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是多大？
（2）該粒子的運(yùn)動(dòng)周期是多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在小圓內(nèi)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不能穿越大圓，即運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)和大圓相切，確定軌跡求出半徑即可求解．
（2）找到圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角，結(jié)合周期計(jì)算時(shí)間，再加上勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）如圖所示，粒子從圓心出發(fā)后先在小圓內(nèi)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后再次射入小圓做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，粒子必然會(huì)再次回到小圓的圓心處．運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，
環(huán)形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是B，據(jù)牛頓第二定律有     $qvB=m\frac{v^2}{r}$①
由幾何關(guān)系知      $\sqrt{{r^2}+{R^2}}+r=（\sqrt{2}+1）R$
解得：r=R②
由  ①②聯(lián)立可解得$B=\frac{mv}{qR}$③
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為  ${T_1}=\frac{2πr}{v}$④
由②④聯(lián)立得${T_1}=\frac{2πR}{v}$⑤
圖中θ角滿(mǎn)足$tanθ=\frac{R}{r}$=1⑥
由②⑥聯(lián)立得θ=45°     ⑦
則可知粒子將沿圖示運(yùn)動(dòng)軌跡從出發(fā)到第四次回到小圓圓心時(shí)完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，
因而粒子的運(yùn)動(dòng)周期為        $T=\frac{8R}{v}+4×\frac{{3{T_1}}}{4}$⑧
將  ④代入 ⑧得   $T=\frac{8R+6πR}{v}$⑨．
答：（1）環(huán)形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是$\frac{mv}{Bq}$
（2）該粒子的運(yùn)動(dòng)周期是$\frac{8R+6πR}{v}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)及電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意正確分析物理過(guò)程，明確帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，靈活應(yīng)用幾何關(guān)系求解，注意粒子的周期運(yùn)動(dòng)．