Question

3．光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外還具有動量．由狹義相對論可知，一定的質(zhì)量m與一定的能量E相對應(yīng)：E=mc²，其中c為真空中光速．
（1）已知某單色光的頻率為ν，波長為λ，該單色光光子的能量E=hv，其中h為普朗克常量．試借用質(zhì)子、電子等粒子動量的定義：動量=質(zhì)量×速度，推導(dǎo)該單色光光子的動量p=$\frac{h}{λ}$．
（2）光照射到物體表面時，如同大量氣體分子與器壁的頻繁碰撞一樣，將產(chǎn)生持續(xù)均勻的壓力，這種壓力會對物體表面產(chǎn)生壓強，這就是“光壓”，用I表示．
一臺發(fā)光功率為P₀的激光器發(fā)出一束某頻率的激光，光束的橫截面積為S．當(dāng)該激光束垂直照射到某物體表面時，假設(shè)光全部被吸收，試寫出其在物體表面引起的光壓的表達(dá)式．
（3）設(shè)想利用太陽光的“光壓”為探測器提供動力，將太陽系中的探測器送到太陽系以外，這就需要為探測器制作一個很大的光帆，以使太陽光對光帆的壓力超過太陽對探測器的引力，不考慮行星對探測器的引力．
一個質(zhì)量為m的探測器，正在朝遠(yuǎn)離太陽的方向運動．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M，太陽單位時間輻射的總能量為P．設(shè)帆面始終與太陽光垂直，且光帆能將太陽光一半反射，一半吸收．試估算該探測器光帆的面積應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量與質(zhì)量的關(guān)系，結(jié)合光子能量與頻率的關(guān)系以及動量的表達(dá)式推導(dǎo)單色光光子的動量p=$\frac{h}{λ}$．
（2）根據(jù)一小段時間△t內(nèi)激光器發(fā)射的光子數(shù)，結(jié)合動量定理求出其在物體表面引起的光壓的表達(dá)式．
（3）當(dāng)光一半被反射一半被吸收時，求出產(chǎn)生的光壓，得出距太陽為r處光帆受到的光壓，抓住太陽光對光帆的壓力需超過太陽對探測器的引力求出探測器光帆的面積應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）光子的能量 E=mc²
$E=hν=h\frac{c}{λ}$
光子的動量 p=mc可得 $p=\frac{E}{c}=\frac{h}{λ}$
（2）一小段時間△t內(nèi)激光器發(fā)射的光子數(shù) $n=\frac{{{P_0}△t}}{{h\frac{c}{λ}}}$
光照射物體表面，由動量定理 F△t=np
產(chǎn)生的光壓 $I=\frac{F}{S}$解得 $I=\frac{P_0}{cS}$
（3）由（2）同理可知，當(dāng)光一半被反射一半被吸收時，產(chǎn)生的光壓 $I=\frac{3P}{2cS}$
距太陽為r處光帆受到的光壓$I=\frac{3P}{{2c•4π{r^2}}}$
太陽光對光帆的壓力需超過太陽對探測器的引力 $IS'＞G\frac{Mm}{r^2}$
解得 $S'＞\frac{8πcGMm}{3P}$．
答：（1）推導(dǎo)過程如上所示；
（2）在物體表面引起的光壓的表達(dá)式$I=\frac{P_0}{cS}$；
（3）該探測器光帆的面積應(yīng)滿足的條件$S'＞\frac{8πcGMm}{3P}$．

點評 考查光子的能量與動量區(qū)別與聯(lián)系，掌握動量定理的應(yīng)用，注意建立正確的模型是解題的關(guān)鍵．