Question

16．如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油，假定區(qū)域周?chē)鷰r石均勻分布，密度為ρ；石油密度遠(yuǎn)小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔．如果沒(méi)有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏離．重力加速度在原堅(jiān)直方向（即PO方向）上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反�！保疄榱颂綄な�油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)附近重力加速度反�，F(xiàn)象．已知引力常數(shù)為G．設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），$\overline{PQ}$=x，求：
（1）空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常．
（2）若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在ξ與kξ（k＞1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半徑為L(zhǎng)的范圍的中心，如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積．

Answer 1

分析 （1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值．
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常．
（2）由第一問(wèn)當(dāng)中的重力加速度反常的表達(dá)式得出重力加速度反�！鱣′的最大值和最小值．重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L(zhǎng)的范圍的中心，則重力加速度反常最大值kg就是在P點(diǎn)！最小值g就是在Q點(diǎn)
重力加速度反常值在g與kg（k＞1）之間變化，帶入等式求解．

解答 解：（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反�？赏ㄟ^(guò)填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m△g①來(lái)計(jì)算，式中的m是Q點(diǎn)的質(zhì)量，M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離r=$\sqrt{xt5lf5j^{2}+{x}^{2}}$③
△g在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大�。甉點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反�！鱣′是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影△g′=$\fracxn5tvhx{r}△g$④
聯(lián)立以上式子得△g′=$\frac{GρVd}{{（j5jj555^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$，⑤
（2）由⑤式得，重力加速度反�！鱣′的最大值和最小值分別為
（△g′）_max=$\frac{GρV}{f5ljfrl^{2}}$⑥
（△g′）_min=$\frac{GρVd}{{（zzpxhzp^{2}+{L}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$⑦
由題設(shè)有（△g′）_max=kξ、（△g′）_min=ξ⑧
聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
d=$\frac{L}{\sqrt{{k}^{\frac{2}{3}}-1}}$，V=$\frac{{L}^{2}kξ}{Gρ（{k}^{\frac{2}{3}}-1）}$
答：（1）空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常是$\frac{GρVd}{{（rjp5jlh^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$；
（2）此球形空腔球心的深度為$\frac{L}{\sqrt{{k}^{\frac{2}{3}}-1}}$，空腔的體積為$\frac{{L}^{2}kξ}{Gρ（{k}^{\frac{2}{3}}-1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力部分的知識(shí)，逆向思維．填滿巖石就回到正常值，則反常就是這部分巖石的引力引起的．