Question

2．在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向豎直向下，大小為E；勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向外，大小為B，虛線與水平線之間的夾角為θ=45°．一個(gè)帶正電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，從O點(diǎn)以速度v₀水平射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)?shù)谝淮螐拇艌?chǎng)區(qū)域經(jīng)虛線進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)（此時(shí)作為第一次經(jīng)過(guò)虛線）設(shè)法使該帶電粒子的電量不變，電性相反．（粒子重力忽略不計(jì)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域足夠大）．試求：
（1）帶電粒子第1次通虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始到第3次通過(guò)虛線時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）若帶電粒子第4次通過(guò)虛線時(shí)要被放在虛線處的粒子回收裝置回收（該裝置不考慮大小），則該回收裝置放在距O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出電粒子第1次通過(guò)虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)軌跡，確定出帶電粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求出時(shí)間．在電場(chǎng)中，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出時(shí)間，即可得到總時(shí)間．
（3）帶電粒子第3次通過(guò)虛線進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子第4次通過(guò)虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）設(shè)第一次到虛線位置為A點(diǎn)，距離O點(diǎn)距離為x，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由幾何關(guān)系得：x=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）由（1）知第一次過(guò)虛線時(shí)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角度為90°，速度的方向豎直向下，
在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
在電場(chǎng)中先減速到零之后反向加速第二次過(guò)虛線上同一位置A點(diǎn)，
在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)電性相反，電量不變，時(shí)間：t₃=t₁=$\frac{πm}{2qB}$，
所以總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）如圖，第3次過(guò)虛線時(shí)速度水平向左，大小仍為v₀，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．
水平方向：x=v₀t，豎直方向：y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：x=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
即：x_OB=$\sqrt{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$；
答：（1）帶電粒子第1次通虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始到第3次通過(guò)虛線時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）該回收裝置放在距O點(diǎn)的距離：$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出距離與半徑，確定軌跡的圓心角，計(jì)算時(shí)間與周期的關(guān)系．