Question

（2013?河南模擬）如圖所示，用細(xì)圓管組成的光滑軌道AB部分水平，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜R （計算時可忽略不計）．有一質(zhì)量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀=2

gR

從A處射入圓管．求
（1）小球運動到C點時的動能；
（2）小球在B點時所受圓軌道的支持力N_B；
（3）小球運動到離水平軌道的高度為

1

2

R時速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）對于小球，從A到C過程，由機械能守恒可求得運動到C點時的動能；
（2）小球在C點，由重力和管子的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解圓軌道的支持力N_B；
（3）從A到離水平軌道的高度為

1

2

R時，根據(jù)機械能定律求解速度的大小和方向．

解答：解：（1）對于小球，從A到C過程，由機械能守恒可得：

1

2

m

v

2 0

=mg2R+E_KC  ①
 由題意，v₀=2

gR

解得，E_KC=0  ②
（2）小球在C點受重力mg和細(xì)管豎直向上的作用力N，根據(jù)牛頓第二定律，
得：N_B-mg=

m v 2 0

R

  ③
由②、③解得：N_B=5mg
（3）設(shè)所求速度為v_D，由機械能守恒可得：

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

R+

1

2

m

v

2 D

解得，v_D=

3gR

，方向沿圓弧切線向上，與水平成60°．
答：
（1）小球運動到C點時的動能為0；
（2）小球在B點時所受圓軌道的支持力N_B為5mg．
（3）小球運動到離水平軌道的高度為

1

2

R時速度的大小為

3gR

，方向沿圓弧切線向上，與水平成60°．

點評：本題是圓周運動動力學(xué)與機械能守恒定律的綜合應(yīng)用，它們之間的橋梁是速度．