Question

某行星表面沒有空氣，假設(shè)某宇航員在這個(gè)行星表面上以初速度v=2m/s豎直向上拋出一石塊，石塊向上運(yùn)動(dòng)的最大高度為h=0.5m．已知萬有引力常量為G．試求：
（1）該行星表面上的重力加速度g=？
（2）假如有一衛(wèi)星在它的表面附近（可認(rèn)為衛(wèi)星離星球表面高度為零）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞周期為T．試求該行星的半徑R=？和該行星的質(zhì)量M=？

Answer 1

分析：（1）石塊向上運(yùn)動(dòng)由機(jī)械能守恒解得行星表面上的重力加速度．
（2）星球表面附近的衛(wèi)星所受星球的引力等于其重力列出等式．
星球?qū)πl(wèi)星的引力提供向心力列出等式，聯(lián)立可解得．

解答：解：（1）設(shè)行星軌道半徑為r，表面重力加速度為g，質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，石塊的質(zhì)量為m₁，
由機(jī)械能守恒得：

1

2

m₁v²=m₁gh                              ①
得g=

v2

2h

=4m/s2
（2）星球表面附近的衛(wèi)星所受星球的引力等于其重力，有 G

mM

R2

=mg②
又因?yàn)樾乔虮砻娓浇�的衛(wèi)星的軌道半徑等于星球半徑R，由星球?qū)πl(wèi)星的引力提供向心力有G

mM

R2

=m(

2π

T

)2R③
由以上各式得 R=

gT2

4π2

=

T2

π2

M=

gR2

G

=

4T4

Gπ4

答：1）該行星表面上的重力加速度是4m/s²．
（2）該行星的半徑是

T2

π2

，該行星的質(zhì)量是

4T4

Gπ4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．