Question

【題目】萬(wàn)有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。

（1）用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)是F0。

①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1，求比值的表達(dá)式，并就h=1．0%R的情形算出具體數(shù)值（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；

②若在赤道表面稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式。

（2）設(shè)想地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r、太陽(yáng)半徑為Rs和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1．0%，而太陽(yáng)和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽(yáng)與地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的1年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？

Answer 1

【答案】（1）①，②

（2）“設(shè)想地球”的1年與現(xiàn)實(shí)地球的1年時(shí)間相同

【解析】試題分析：（1）設(shè)物體的質(zhì)量為m

①在北極地面：

在北極上空高出地面h處：

所以：

當(dāng)時(shí)：

②在赤道地面，物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬(wàn)有引力和彈簧測(cè)力計(jì)的拉力，有

聯(lián)立可得：

（2）地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到太陽(yáng)的萬(wàn)有引力。設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為，太陽(yáng)的半徑為，地球質(zhì)量為M，地球公轉(zhuǎn)周期為，則：

得

其中，為太陽(yáng)的密度。由上式可知：地球公轉(zhuǎn)周期僅與太陽(yáng)的密度、地球公轉(zhuǎn)軌道半徑和太陽(yáng)半徑之比有關(guān)，因此，“設(shè)想地球”的1年與現(xiàn)實(shí)地球的1年時(shí)間相同。