Question

20．如圖所示，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點(diǎn)，且兩者固定不動(dòng)．一長(zhǎng)L為0.8m的細(xì)繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量m₁為0.2kg的小球．當(dāng)小球在豎直方向靜止時(shí)，球?qū)λ�平桌面的作用力剛好為零．現(xiàn)將球提起使細(xì)繩處于水平位置時(shí)無初速釋放．當(dāng)小球m₁擺至最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩恰好被拉斷，此時(shí)小球m₁恰好與放在桌面上的質(zhì)量m₂為0.8kg的小球正碰，碰后m₁以2m/s的速度彈回，m₂將沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)．兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．求：
（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力為多大？
（2）m₂在半圓形軌道最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度為多大？
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，試討論半圓形軌道的半徑R應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出小球的速度，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出繩子的拉力．
（2）兩球碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律可以求出小球的速度．
（3）應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律求出軌道半徑，然后確定半徑范圍．

解答 解：（1）設(shè)小球m₁擺至最低點(diǎn)時(shí)速度為v₀，
由機(jī)械能守恒定律，得：m₁gL=$\frac{1}{2}$m₁v₀²，解得：v₀=4m/s，
小球m₁在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律，得：
F_T-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，解得：F_T=6N；
（2）m₁與m₂碰撞，動(dòng)量守恒，選向右的方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂，解得：v₂=1.5 m/s；                                      
（3）①若小球m₂恰好通過最高點(diǎn)D點(diǎn)，
由牛頓第二定律得：m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{1}}$，
m₂在CD軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律，得：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂g•2R₁+$\frac{1}{2}$m₂v_D²，解得：R₁=0.045 m．
②若小球恰好到達(dá)圓軌道與圓心等高處速度減為0，則有：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂gR₂，解得：R₂=0.1125m，
綜上：R應(yīng)該滿足R≤0.045 m或R≥0.1125m                     
答：（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力為6N；
（2）m₂在半圓形軌道最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度為1.5m/s；
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，半圓形軌道的半徑R應(yīng)該滿足的條件是：R≤0.045 m或R≥0.1125m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律、向心力公式的應(yīng)用，要知道小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力；分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵．