Question

兩根足夠長的光滑平行導(dǎo)軌與水平面的夾角θ=30°，寬度L=0.2m，導(dǎo)軌間有與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，如圖所示，在導(dǎo)軌間接有R=0.2Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.01kg、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒ab，與導(dǎo)軌垂直放置，無初速釋放后與導(dǎo)軌保持良好接觸并能沿導(dǎo)軌向下滑動(dòng)．（g取10m/s²）
（1）求ab棒的最大速度．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，其他條件不變，試判定棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．若電容C=1F，求棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機(jī)械能．

Answer 1

【答案】分析：（1）分析棒的運(yùn)動(dòng)情況：開始階段，棒的重力沿斜面向下的分力大于安培力，棒做加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度增大，棒所受的安培力增大，加速度減小，則棒做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)重力沿斜面向下的分力與安培力平衡時(shí)，棒做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)E=BLv、I=、F=BIL，推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，由平衡條件可求出最大速度．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，取極短時(shí)間內(nèi)，棒的速度增加量為△v，則得知棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增加量△E=BL△v，電容器充電，充電電流為I==，棒所受的安培力大小為F=BIL=CB²L²a，根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ-CB²L²a=ma，即可求出加速度，可見，棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出t=4s時(shí)棒的速度和位移，由能量守恒定律求解棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
解答：解：（1）設(shè)某時(shí)刻ab的速度為v
則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，電流強(qiáng)度  
棒所受安培力
則由牛頓第二定律得 mgsinθ-F_B=ma
代入得
當(dāng)a=0時(shí)，有  
（2）設(shè)t時(shí)刻棒的加速度為a，速度為v，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E，（t+△t）（△t→0）時(shí)刻，棒的速度為（v+△v），電動(dòng)勢(shì)為E′，則
   E=BLv       E′=BL（v+△v）
△t內(nèi)流過棒截面的電荷量△q=C（E'-E）=CBL△v
電流強(qiáng)度
棒受的安培力
由牛頓第二定律，t時(shí)刻對(duì)棒有   mgsinθ-F_B=ma
即 mgsinθ-CB²L²a=ma
故  
故棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)t=4s時(shí)，v=at=10m/s      
由能量守恒：
答：
（1）ab棒的最大速度為1m/s．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為0.5J．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析棒的受力情況，分析其運(yùn)動(dòng)情況，第1問類似于汽車恒定功率起動(dòng)的過程，要抓住安培力與速度成正比的特點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析．第2問難點(diǎn)是運(yùn)用微分的方法分析電路中電流，求出安培力，根據(jù)牛頓第二定律判斷出棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．