Question

宇航員在月球表面完成下面實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光滑圓形軌道內(nèi)部的最低點(diǎn)，靜止一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），如圖所示，當(dāng)給小球水平初速度v₀時(shí)，剛好能使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R．若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？

Answer 1

分析：由于小球恰好經(jīng)過最高點(diǎn)，根據(jù)重力提供向心力，可求出在最高點(diǎn)的速度；小球在軌道內(nèi)部運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根據(jù)重力提供向心力，可求出最小發(fā)射速度．

解答：解：設(shè)月球表面重力加速度為g，月球質(zhì)量為M．
球剛好完成圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在最高點(diǎn)有  mg=m

v2

r

        ①
從最低點(diǎn)至最高點(diǎn)由動(dòng)能定理得-mg?2r=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

   ②
由①②可得  g=

v 2 0

5r

             
在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度，重力提供向心力  m′g=m′

v2

R

 解得：v=

gR

=

v0

5r

5Rr

故在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為

v0

5r

5Rr

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，小球在光滑軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)重力提供向心力；衛(wèi)星在月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力提供向心力．