Question

6．在如圖甲所示的平面坐標(biāo)系內(nèi)，有三個(gè)不同的靜電場(chǎng)：第一象限內(nèi)有固定在O點(diǎn)處的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)E₁（未知），該電荷量為-Q，且只考慮該點(diǎn)電荷在第一象限內(nèi)產(chǎn)生電場(chǎng)；第二象限內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂（未知）；第四象限內(nèi)有大小為 $\frac{2kQ}{{x}_{0}^{2}}$，方向按圖乙周期性變化的電場(chǎng)E₃，以水平向右為正方向，變化周期T=$\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kQq}}$，一質(zhì)量為m，電荷量為+q的離子從（-x₀，x₀）點(diǎn)由靜止釋放，進(jìn)入第一象限后恰能繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．以離子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，已知靜電力常量為k，不計(jì)離子重力．求：
（1）離子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小和第二象限電場(chǎng)E₂的大��；
（2）當(dāng)t=$\frac{T}{2}$時(shí)，離子的速度；
（3）當(dāng)t=nT時(shí)，離子的坐標(biāo)．（n=1、2、3…）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在第一象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由圓周運(yùn)動(dòng)半徑和庫(kù)侖定律求得粒子剛進(jìn)入第四象限的速度；在第二象限粒子做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理?yè)?jù)粒子獲得的速度和位移求得第二象限的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子進(jìn)入第四象限在豎直方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，水平方向在電場(chǎng)力作用下先勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)后勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)時(shí)間由運(yùn)動(dòng)的合成求得離子的速度；
（3）根據(jù)粒子水平方向運(yùn)動(dòng)的周期性求得粒子的橫坐標(biāo)，再根據(jù)豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得粒子的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律可得：$\frac{kQq}{{x}_{0}^{2}}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}$；
在第二定律加速過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理可得：qE₂=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：${E}_{2}=\frac{kQ}{2{x}_{0}^{2}}$；
（2）離子進(jìn)入第四象限后，在水平方向上，有：
v_水平=at=$\frac{q{E}_{3}}{m}•\frac{T}{2}$=$\sqrt{\frac{8kQq}{m{x}_{0}}}$
當(dāng)t=$\frac{T}{2}$時(shí)，離子的速度為：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{水平}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}$；
（3）離子在第四象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)，y方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，x方向上前半個(gè)周期向右勻加速運(yùn)動(dòng)，后半個(gè)周期向右勻減速運(yùn)動(dòng)直到速度為0；
每個(gè)周期向右運(yùn)動(dòng)的平均速度$\frac{v}{2}$，則nT時(shí)水平方向的位移為：
$x=\frac{v}{2}•nT=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}×n×\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kQq}}$=3n$\sqrt{2}{x}_{0}$
-y方向的位移大小為：y=${v}_{0}•nT=\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}×n×\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kqQ}}$=$2\sqrt{2}n{x}_{0}$，
所以nT時(shí)刻離子的坐標(biāo)為（$3\sqrt{2}n{x}_{0}$，$-2\sqrt{2}n{x}_{0}$） （n=1、2、3…）．
答：（1）離子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小為$\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}$，第二象限電場(chǎng)E₂的大小為$\frac{kQ}{2{x}_{0}^{2}}$；
（2）當(dāng)t=$\frac{T}{2}$時(shí)，離子的速度為$\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}$；
（3）當(dāng)t=nT時(shí)，離子的坐標(biāo)為（$3\sqrt{2}n{x}_{0}$，$-2\sqrt{2}n{x}_{0}$） （n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解．