Question

13．如圖所示，水平地面上固定一個(gè)光滑軌道ABC，該軌道由兩個(gè)半徑均為R的$\frac{1}{4}$圓弧$\widehat{AB}$、$\widehat{BC}$平滑連接而成，O₁、O₂分別為兩段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心，O₁O₂的連線豎直，O₁D是一傾角為45°的虛線，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由軌道上P點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）靜止釋放，重力加速度為g，求
（1）P點(diǎn)至少距離地面多高，小球可在B點(diǎn)脫離軌道
（2）P點(diǎn)距離地面多高，小球恰好可擊中O₁D線．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)從P到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出小球通過B點(diǎn)的速度表達(dá)式．小球在B點(diǎn)脫離軌道時(shí)，軌道對(duì)小球沒有支持力，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力列式，再聯(lián)立求解；
（2）考慮臨界情況，擊中D點(diǎn)，平拋的水平分位移為2R，豎直分位移為R，先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式；再根據(jù)動(dòng)能定理列式，最后聯(lián)立求解．

解答 解：（1）P點(diǎn)至少距離地面h時(shí)，小球可在B點(diǎn)脫離軌道．
對(duì)從P到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
  mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$；
在B點(diǎn)，由重力恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
  mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；
聯(lián)立解得：h=1.5R
（2）小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好可擊中O₁D線時(shí)速度與O₁D相切，設(shè)水平位移大小為x，則有：
  x=v_Bt
  x-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
且有 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$=$\frac{gt}{{v}_{B}}$
聯(lián)立以上三式：v_B=$\sqrt{2gR}$
對(duì)從P點(diǎn)到B點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理有：
 mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
聯(lián)立解得：H=2R
答：
（1）P點(diǎn)至少距離地面1.5R高，小球可在B點(diǎn)脫離軌道；
（2）P點(diǎn)距離地面2R高，小球恰好可擊中O₁D線．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確球的運(yùn)動(dòng)情況，把握小球恰好可擊中O₁D線的條件：速度與O₁D線相切．能夠結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)公式、向心力公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理列式求解．