Question

4．萬有引力和庫(kù)侖力有類似的規(guī)律，有很多可以類比的地方．已知引力常量為G，靜電力常量為k．
（1）用定義靜電場(chǎng)強(qiáng)度的方法來定義與質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E_G的表達(dá)式；
（2）質(zhì)量為m、電荷量為e的電子在庫(kù)侖力的作用下以速度v繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該模型與太陽(yáng)系內(nèi)行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)相似，被稱為“行星模型”，如圖（1）．已知在一段時(shí)間內(nèi)，電子走過的弧長(zhǎng)為s，其速度方向改變的角度為θ（弧度）．不考慮電子之間的相互作用，求出原子核的電荷量Q；
（3）如圖（2），用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的金屬小球，質(zhì)量為m，電荷量為-q．懸點(diǎn)下方固定一個(gè)足夠大的水平放置的均勻帶正電的介質(zhì)平板．小球在豎直平面內(nèi)做小角度振動(dòng)．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
a．已知忽略邊緣效應(yīng)的情況下，帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線都垂直于平板，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)．請(qǐng)證明：帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)；
b．在上述帶電平板附近所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，求：金屬小球的振動(dòng)周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度定義方法，即可求解；
（2）依據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合庫(kù)侖定律與向心力公式，即可求解；
（3）根據(jù)小球靜止時(shí)繩中的拉力即等于等效重力mg'，從而求得等效重力加速度，再依據(jù)振動(dòng)周期公式，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，那么質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力強(qiáng)度${E}_{G}^{\;}$的表達(dá)式：${E}_{G}^{\;}=\frac{F}{m}=\frac{\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}}{m}=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，即${E}_{G}^{\;}=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，依據(jù)庫(kù)侖力提供向心力，則有$k\frac{Qe}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系，得$R=\frac{s}{θ}$
解得：$Q=\frac{m{v}_{\;}^{2}s}{θke}$
（3）a．反證法
法1：如圖，若存在，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點(diǎn)沿矩形路線abcda（ab與電場(chǎng)線平行，bc邊與電場(chǎng)線垂直）運(yùn)動(dòng)一周回到a點(diǎn)．設(shè)ab處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E₁，cd處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E₂，根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力做的總功W_aa=W_ab+W_bc+W_cd+W_da=qE₁x_ab+W_bc+W_cd+W_da
其中，W_ab=qE₁x_ab，W_cd=-qE₂x_bc=-qE₂x_ab，bc段和da段電場(chǎng)力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，故W_bc=W_da=0，
得W_aa=W_ab+W_bc+W_cd+W_da=qE₁x_ab+0+0-qE₂x_ab=q（E₁-E₂）x_ab＜0
但根據(jù)電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，做功與路徑無關(guān)，故W_aa=0，
上述假設(shè)矛盾，故不存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)．


法2：如圖，若存在，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點(diǎn)分別沿矩形abcd（ab與電場(chǎng)線平行，bc邊與電場(chǎng)線垂直）的abc和adc運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)．設(shè)ab處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E₁，cd處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E₂，根據(jù)功的定義，路徑abc和adc電場(chǎng)力做的功分別為
W_abc=W_ab+W_bc，W_adc=W_cd+W_da
其中，W_ab=qE₁x_ab，W_cd=-qE₂x_bc=-qE₂x_ab，bc段和da段電場(chǎng)力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，故W_bc=W_da=0，
得W_abc=W_ab+W_bc=qE₁x_ab+0，W_adc=W_cd+W_da=0-qE₂x_ab
故W_abc≠W_adc
但根據(jù)電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，做功與路徑無關(guān)，故W_abc=W_adc，
上述假設(shè)矛盾，故不存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)．
b．電場(chǎng)力：${F}_{電}^{\;}=qE$，
等效重力加速度：$g′=\frac{{F}_{電}^{\;}+mg}{m}=\frac{qE+mg}{m}$
小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g′}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lm}{qE+mg}}$
答：（1）用定義靜電場(chǎng)強(qiáng)度的方法來定義與質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)相距r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度E_G的表達(dá)式為$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$；
（2）原子核的電荷量Q為$\frac{m{v}_{\;}^{2}s}{θke}$；
（3）a．證明：帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)（上面已證）；
b．金屬小球的振動(dòng)周期$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lm}{qE+mg}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查電場(chǎng)強(qiáng)度的定義法，掌握牛頓第二定律，庫(kù)侖定律與萬有引力定律的內(nèi)容，注意等效重力加速度的理解，及振動(dòng)周期的公式的物理量的含義．