Question

6．閱讀以下信息：
①2013年12月2日1時30分，“嫦娥三號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，經(jīng)過19分鐘的飛行后，火箭把“嫦娥三號”送入近地點高度210千米、遠地點高度約36.8萬千米的地月轉(zhuǎn)移軌道．“嫦娥三號”奔月的近似軌跡如圖所示．
②經(jīng)過地月轉(zhuǎn)移軌道上的長途飛行后，“嫦娥三號”在距月面高度約100千米處成功變軌，進入環(huán)月圓軌道．在該軌道上運行了約4天后，再次成功變軌，進入近月點高度15千米、遠月點高度100千米的橢圓軌道．
③2013年12月14日晚21時，隨著首次應(yīng)用于中國航天器的空間變推力發(fā)動機開機，沿橢圓軌道通過近月點的“嫦娥三號”從每秒鐘1.7千米的速度實施動力下降．
④2013年12月14日21時11分，“嫦娥三號”成功實施軟著陸．
⑤開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個對所有行星都相同的常量．該定律適用于一切具有中心天體的引力系統(tǒng)．
⑥月球的質(zhì)量M=7.35×10²²kg，半徑R=1.74×10³km；月球繞地球運行的軌道半長軸a₀=3.82×10⁵km，月球繞地球運動的周期T₀=27.3d（d表示天）；質(zhì)量為m的物體在距離月球球心r處具有的引力勢能E_P=-G$\frac{Mm}{r}$，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²；地球的半徑R₀=6.37×10³km．
根據(jù)以上信息，請估算：
（1）“嫦娥三號”在100km環(huán)月圓軌道上運行時的速率v；
（2）“嫦娥三號”在橢圓軌道上通過遠月點時的速率v_遠；
（3）“嫦娥三號”沿地月轉(zhuǎn)移軌道運行的時間t．

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供嫦娥三號圓周運動的向心力，據(jù)此求得嫦娥三號的運行速率；
（2）嫦娥三號在橢圓軌道上運行時只有引力對其做功，滿足機械能守恒，根據(jù)機械能守由近月點速度和勢能表達式求得遠月點的速度；
（3）根據(jù)開普勒行星運動定律由月球半長軸和周期及地月轉(zhuǎn)移軌道的半長軸求得在地月轉(zhuǎn)移軌道上的周期，而沿地月轉(zhuǎn)移軌道上運動半個周期，據(jù)此求得運行時間．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×7.35×1{0}^{22}}{1.74×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.63×10³m/s=1.63km/s
（2）嫦娥三號在橢圓軌道上運動時只受月球引力作用滿足機械能守恒，由題意知嫦娥三號在近月點的速度v_近=1.7km/s=1700m/s
根據(jù)機械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}_{近}^{2}+（-G\frac{Mm}{{r}_{近}}）=\frac{1}{2}m{v}_{遠}^{2}+（-\frac{GMm}{{r}_{遠}}）$
代入數(shù)據(jù)解得：v_遠=1600m/s=1.6km/s
（3）由題意知，地月轉(zhuǎn)移軌道的半長軸為：R=$\frac{210+36.8×1{0}^{4}}{2}km=184105km$
嫦娥三號在地月轉(zhuǎn)移軌道上運運動半個周期到達月球，根據(jù)開普勒行星運動定律有：
$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$
得：$T=\sqrt{（\frac{R}{{a}_{0}}）^{3}}{T}_{0}$=${\sqrt{（\frac{184105}{3.82×1{0}^{5}}）}}^{3}×27.3d$≈9.6d
故嫦娥三號運動$\frac{1}{2}T$，即運動時間為：t=$\frac{1}{2}T$=4.8d
答：（1）“嫦娥三號”在100km環(huán)月圓軌道上運行時的速率v為1.63km/s；
（2）“嫦娥三號”在橢圓軌道上通過遠月點時的速率v_遠為1.6km/s；
（3）“嫦娥三號”沿地月轉(zhuǎn)移軌道運行的時間t為4.8天．

點評 解決本題的關(guān)鍵是有效的抓取題目中給出的有效信息，能根據(jù)物理模型找出解決問題的思路，從能量解度、開普勒行星運動定律和萬有引力定律提供圓周運動向心力展開討論即可．