Question

10．如圖所示，某貨場(chǎng)需將質(zhì)量為m的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，現(xiàn)利用固定于地面的傾斜軌道傳送貨物，使貨物由軌道頂端無(wú)初速滑下，軌道與水平面成θ=37°角．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同木板A、B，長(zhǎng)度均為l=2m，厚度不計(jì)，質(zhì)量均為m，木板上表面與軌道末端平滑連接．貨物與傾斜軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₀=0.125，貨物與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2．回答下列問(wèn)題：（最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

（1）若貨物從離地面高h(yuǎn)₀=1.5m處由靜止滑下，求貨物到達(dá)軌道末端時(shí)的速度v₀；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，求μ₁應(yīng)滿足的條件；
（3）若μ₁=0.5，為使貨物恰能到達(dá)B的最右端，貨物由靜止下滑的高度h應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）貨物下滑時(shí)根據(jù)牛頓第二定律求出下滑時(shí)的加速度，再根據(jù)速度位移關(guān)系求出到達(dá)末端時(shí)的速度；
（2）根據(jù)木板動(dòng)與不動(dòng)的條件求解貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)所滿足的條件；
（3）根據(jù)（2）中條件求解μ₁=0.5時(shí)貨物在A、B上運(yùn)動(dòng)情況由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得貨物靜止時(shí)下滑的高度h．

解答 解：（1）貨物在傾斜軌道上的受力如圖，由牛頓第二定律：
mgsinθ-f=ma₀，N-mgcosθ=0，
滑動(dòng)摩擦力：f=Nμ₀，
代入數(shù)據(jù)解得a₀=5m/s²，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：
v₀²=2a₀$\frac{{h}_{0}}{sin37°}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=5m/s；
（2）若滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，由受力分析得：μ₁mg≤μ₂（m+2m）g，
若滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，由受力分析得：μ₁mg＞μ₂（m+m）g，
代入數(shù)據(jù)得：0.4＜μ₁≤0.6；
（3）由（2）知貨物滑上A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)．
貨物下滑高度記為h₂，到達(dá)斜道末端時(shí)速度記為v₂，v₂²=2a₀$\frac{{h}_{2}}{sin37°}$，
貨物滑上A時(shí)做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小a₁=gμ₁=5m/s²
貨物離開(kāi)A時(shí)速度記為v₃，v₃²-v₂²=-2a₁l，
貨物滑上B時(shí)，自身加速度大小a₂=gμ₁=5m/s²，
B的加速度大小a₃=gμ₁-2gμ₂=1m/s²
由題意，貨物到達(dá)B最右端時(shí)兩者恰好具有共同速度，記為v₄
貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)：v₄=v₃-a₂t，v₄²-v₃²=-2a₂l_貨，
B做勻加速運(yùn)動(dòng)：v₄=a₃t，v₄²=2a₃l_B，
位移關(guān)系滿足：l_B+l=l_貨，
代入數(shù)據(jù)解得：h₂=2.64m；
答：（1）若貨物從離地面高h(yuǎn)₀=1.5m處由靜止滑下，求貨物到達(dá)軌道末端時(shí)的速度v₀為5m/s．
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足的條件是0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，為使貨物恰能到達(dá)B的最右端，貨物由靜止下滑的高度h應(yīng)為2.64m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．