Question

13．為了探測某星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上做勻速圓周運動，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上做勻速圓周運動，此時登陸艙的質(zhì)量為m₂，則（　�。�

• A． 該星球的質(zhì)量為 M=$\frac{{4{π^2}{r_2}}}{GT_1^2}$
• B． 該星球表面的重力加速度為g=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T₂=T₁$\frac{\sqrt{{{r}_{2}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{3}}}$
• D． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{2}}{{m}_{2}{r}_{1}}}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進行比較．

解答 解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
$\frac{GmM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上做勻速圓周運動，周期為T₁，
解得M=$\frac{{{4π}^{2}r}_{1}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$，故A錯誤；
B、根據(jù)萬有引力等于重力得該星球表面的重力加速度為g=$\frac{{{4π}^{2}r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，故B錯誤；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T₂=T₁$\frac{\sqrt{{{r}_{2}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{3}}}$，故C正確；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力，
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，即線速度與環(huán)繞體質(zhì)量無關(guān)，
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故D錯誤；
故選：C．

點評 求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．