Question

【題目】從左至右在同一水平地面上依次有3個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c，且三者共線，a與b相距l1，b與c相距l2．現(xiàn)同時(shí)將它們從其初始位置拋出．已知質(zhì)點(diǎn)b以初速度v0豎直上拋，質(zhì)點(diǎn)c以某一初速度豎直上拋．設(shè)在這3個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，a能碰到質(zhì)點(diǎn)b和c；并假設(shè)質(zhì)點(diǎn)a的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)點(diǎn)b的質(zhì)量，且a與b碰撞時(shí)間極短．求質(zhì)點(diǎn)c的初速度vc和質(zhì)點(diǎn)a的初速度所滿足的條件。所求的結(jié)果均用題中的已知量表示出來。

Answer 1

【答案】vx≥g；vy=vc=v0

【解析】

以質(zhì)點(diǎn)a的初始位置為原點(diǎn),向右為x軸正向,向上為y軸正向.設(shè)a的初速度x和y分量分別為vx和vy.按拋體運(yùn)動(dòng)公式,在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)分別為

(xa，ya)=(vxt,vyt-gt2)　�、�

(xb，yb)=(l1,v0t-gt2)　�、�

(xc，yc)=(l1+l2,vct-gt2)　　③

a與b相碰的條件是,存在時(shí)刻t1,使?jié)M足

vxt1=l1�、�

vyt1-gt12=v0t1-gt12⑤

v0t1-gt12≥0⑥

⑥式來自于水平地面對(duì)質(zhì)點(diǎn)y坐標(biāo)的限制。由④⑤⑥式得

vy=v0�、�

vx≥g�、�

由于a與b碰撞時(shí)間極短,可忽略重力的影響。在a與b碰撞前后,系統(tǒng)的動(dòng)量和能量守恒

mavx=mav'x+mbv'bx⑨

ma+mbvby(t1)=mav'y(t1)+mbv'by(t1)⑩

ma[vx2+vy2(t1)]+mbvby2(t1)=ma[v'x2+v'y2(t1)]+mb[v'bx2+v'by2(t1)](11)

式中,碰后的有關(guān)速度用打撇的字母表示.由題意,可認(rèn)為mb=0.將mb=0代入⑨⑩(11)式得

vx=v'x，vy(t1)＝v'y(t1)　　 (12)

可見,質(zhì)點(diǎn)b的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)a的運(yùn)動(dòng)的影響可忽略。

同理,a與c相碰的條件是,存在時(shí)刻t2,使?jié)M足

vxt2=l1+l2(13)

vyt2-gt22=vct2-gt22(14)

vct2-gt22≥0(15)

由(13)(14)(15)式得

vc=vy(16)

vx≥g(17)

由⑦⑧(12)(13)式得,質(zhì)點(diǎn)c的初速度vc為

vc=v0(18)

質(zhì)點(diǎn)a的初速度應(yīng)滿足的條件為

vx≥g(19)

vy=vc=v0(20)