Question

14．物體在地球上不同緯度處隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的大小不同，故同一個物體在地球上不同緯度處重力大小不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點(diǎn)受到的重力大小之比約為299：300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認(rèn)為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假如某星球因為自轉(zhuǎn)原因，一物體在赤道上的重力與其在該星球兩極點(diǎn)受到的重力大小之比為5：6，已知該星球的半徑為R，
（1）求繞該星球運(yùn)動的同步衛(wèi)星的軌道半徑r；
（2）若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，求該星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：${F}_{萬}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{極}$，物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有：F_萬=G_赤+F_n，該星球的同步衛(wèi)星的周期等于自轉(zhuǎn)周期T，則有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，結(jié)合題目中的條件，計算繞該星球運(yùn)動的同步衛(wèi)星的軌道半徑r．
（2）在星球赤道上，有$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解出該星球的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式計算星球的密度．

解答 解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球的自轉(zhuǎn)周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即：${F}_{萬}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={G}_{極}$
物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有：F_萬=G_赤+F_n
因為${G}_{赤}=\frac{5}{6}{G}_{極}$，
得：${F}_{n}=\frac{1}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$
該星球的同步衛(wèi)星的周期等于自轉(zhuǎn)周期T，則有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
聯(lián)立解得：r=$\root{3}{6}$R
（2）在星球赤道上，有：$\frac{5}{6}G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得：$M=\frac{6g{R}^{2}}{5G}$
又因星球的體積：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以該星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{9g}{10GπR}$
答：（1）繞該星球運(yùn)動的同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{6}$R；
（2）若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，萬有引力常量為G，則該星球的密度為$\frac{9g}{10GπR}$．

點(diǎn)評 本題要知道物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G_赤，有關(guān)系：F_萬=G_赤+F_n，這兩個關(guān)系是解題的關(guān)鍵．