Question

（2011?中山市三模）如圖所示，凹槽的水平底面寬度s=0.3m，左側(cè)高度H=0.45m，右側(cè)高度h=0.25m．凹槽的左側(cè)豎直面與半徑R=0.2m的1/4光滑圓弧軌道相接，A和B分別是圓弧的端點(diǎn)，右側(cè)豎直面與水平面MN相接．小球P₁靜止從A點(diǎn)沿圓弧軌道滑下，與靜置于B點(diǎn)的小球P₂發(fā)生彈性碰撞．P₂的質(zhì)量m=1kg，P₁的質(zhì)量是P₂質(zhì)量的k倍．已知重力加速度g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球P₁從圓弧軌道滑至B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）若小球P₂碰撞后第一落點(diǎn)在M點(diǎn)，求碰撞后P₂的速度大�。�
（3）設(shè)小球P₂的第一落點(diǎn)與凹槽左側(cè)豎直面水平距離為x，試求x的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）在從A到B的過(guò)程中只有重力做功有動(dòng)能定理可以求解；
（2）因?yàn)樾∏騊₂從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，，有下降的高度可求出時(shí)間t，再有水平位移求出速度；
（3）當(dāng)P₁與P₂碰撞時(shí)，根據(jù)動(dòng)量定理與動(dòng)能定理，可求出P₂的水平速度，因?yàn)樾∏騊₂可以落在MN平臺(tái)上，也可以落在MN平臺(tái)左側(cè)，所以要分情況，
當(dāng)P₂落在平臺(tái)上時(shí)，下降的高度為H-h，可求出下落時(shí)間，再根據(jù)水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，求出位移，
當(dāng)P₂落在凹槽底面時(shí)，下降的高度為H，可求出下落時(shí)間，再根據(jù)水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，求出位移，
當(dāng)P₂與在平臺(tái)MN左側(cè)相撞時(shí)，水平位移就為s．

解答：解：（1）P₁從A點(diǎn)滑至B點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：

1

2

kmv2=kmgR
解得在B點(diǎn)的速度 v=

2gR

=2m/s
（2）小球P₂從B點(diǎn)到M點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：H-h=

1

2

gt2得
t=

2(H-h) g

=0.2s
由d=v_Mt解得小球P₁從C點(diǎn)拋出時(shí)的速度vM=

3

4

v=1.5m/s
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：kmv=kmv₁+mv_{2 ①}
根據(jù)能量守恒有：

1

2

kmv2=

1

2

km

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

     ②
有①②解得：v2=

2k

k+1

v
①若P₂落在MN水平面，則v₂≥v_M解得k≥

3

5

即當(dāng)k≥

3

5

時(shí)，x=v2t=

2k

k+1

v?t=

4k

5(k+1)

②當(dāng)P₂落在凹槽底面時(shí)，落地時(shí)間t′=

2H g

=0.3s
最大拋出速度v′=

s

t′

=

1

2

v=1m/s
所以若P₂落在凹槽底面時(shí)，則v₂≤v'，解得k≤

1

3

即當(dāng)0＜k≤

1

3

時(shí)，x=v2t=

2k

k+1

v?t′=

6k

5(k+1)

③當(dāng)

1

3

＜k＜

3

5

時(shí)，P₂落在右側(cè)豎直面上，故x=s=0.3m
答：（1）2m/s   （2）1.5m/s   （3）①x=

4k

5(k+1)

，②x=

6k

5(k+1)

，③x=0.3m

點(diǎn)評(píng)：本題主要是分清小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，及在豎直方向與水平方向上的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，利用動(dòng)能定理，動(dòng)量定理及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問(wèn)題