Question

5．宇航員在月球表面附近自高度h處以初速度v₀水平拋出一個(gè)小球，測出小球的水平射程為L，已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 宇航員在月球上自高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一物體，測出物體的水平射程為L，根據(jù)水平射程和初速度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²求出月球表面的重力加速度大小；由g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$求得月球的質(zhì)量；根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
L=v₀t
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）在月球表面，重力等于萬有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$
（3）第一宇宙速度是月表表面衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：
v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}•R}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}R}{{L}^{2}}}$=$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度g為$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度為$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及掌握萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力這兩個(gè)理論的運(yùn)用．