Question

14．如圖所示，水平軌道BC的左端$\frac{1}{4}$圓軌道相切于B點，右端與一傾角為30°的光滑斜面軌道在C點平滑連接（即物體經(jīng)過C點時速度的大小不變），斜面頂端固定一輕質(zhì)彈簧，一質(zhì)量為2kg的滑塊從圓弧軌道的頂端A點由靜止釋放，經(jīng)水平軌道后滑上斜面并壓縮彈簧，第一次可將彈簧壓縮至D點，已知光滑圓軌道的半徑R=0.45m，水平軌道BC長為0.4m，其動摩擦因數(shù)μ=0.2，光滑斜面軌道上CD長0.6m，g取10m/s²，求：
（1）滑塊第一次經(jīng)過B點時對軌道的壓力；
（2）整個過程中彈簧具有最大的彈性勢能；
（3）滑塊在水平軌道BC上運動的總時間及滑塊最終停在何處？

Answer 1

分析 （1）由A到B過程由動能定理可求得B點的速度，再由向心力公式可求得B點的作用力；
（2）對AD過程由動能定理可求得彈簧的彈性勢能；
（3）對BC過程由牛頓第二定律可求得運動時間；再由動能定理可求得物體停在的位置．

解答 解：（1）滑塊從A點到B點，由動能定理可得：
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=3m/s，
滑塊在B點有：F-mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=60N．
由牛頓第三定律可得，物塊對B點的壓力為：F′=F=60N．
（2）滑塊第一次到達D點時，彈簧具有最大的彈性勢能E_p，滑塊從A點到D點，設(shè)該過程彈簧彈力對滑塊做的功為W，由動能定理可得：
mgR-μmgL_BC-mgL_CDsin30°+W=0，
E_p=-W，
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=1.4J．
（3）將滑塊在BC段的運動全程看作勻減速直線運動，加速度為：a=μg=2m/s²，
則滑塊在水平軌道BC上的運動時間為：$t=\frac{{v}_{B}}{a}=\frac{3}{2}s=1.5s$，
滑塊最終停止在水平軌道BC間，設(shè)滑塊在BC段運動的總路程為s，從滑塊第一次經(jīng)過B點到最終停下來的過程，由動能定理可得：$-μmgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：s=2.25m．
結(jié)合BC段的長度可知，滑塊最終停止在BC間距B點0.15m處．
答：（1）滑塊第一次經(jīng)過B點時對軌道的壓力為60N；
（2）整個過程中彈簧具有最大的彈性勢能為1.4J；
（3）滑塊在水平軌道BC上運動的總時間為1.5s，滑塊最終停在BC間距B點0.15m處．

點評 本題考查動能定理及牛頓第二定律等內(nèi)容，要注意正確受力分析；對于不涉及時間的問題，優(yōu)先選用動能定理．