Question

如圖所示，光滑內(nèi)壁的半球形碗，半徑為R固定在水平桌面上，質(zhì)量分別為M、m可視為質(zhì)點(diǎn)的A、B兩球，用輕繩相連（不可伸縮），A由碗沿從靜止釋放
①小球A能到達(dá)碗底，M與m的關(guān)系滿(mǎn)足什么條件？
當(dāng)M=2m時(shí)，②A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A與圓心連線與水平方向的夾角θ為多少？
③A到達(dá)碗底時(shí)，A、B球速度．

Answer 1

分析：（1）小球A能到達(dá)碗底，則到達(dá)碗底的速度大于等于零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解；
（2）A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A的速度為零，B的速度也為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解；
（3）先求出A到達(dá)碗底時(shí)B球與A球速度的關(guān)系，根據(jù)AB系統(tǒng)機(jī)械能守恒列式即可求解．

解答：解：（1）小球A能到達(dá)碗底，則到達(dá)碗底的速度v≥0，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
MgR-mg

2

R≥

1

2

Mv2=0
解得：M≥

2

m
（2）當(dāng)M=2m時(shí)，A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A的速度為v_A=0，則v_B=0，設(shè)B上升的高度為l，則有：
2mglsinθ=mgl
解得：sinθ=

1

2

所以θ=30°
（3）由于AB為連接體，A到達(dá)碗底時(shí)有：vA=vBcos45°=

2

2

vB
AB系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：
2mgR-mg

2

R=

1

2

?2mvA2+

1

2

mvB2=

5

4

mvA2
解得：vA=

4 5 (2- 2 )gl

vB=

4 5 ( 2 -1)gl

答：（1）小球A能到達(dá)碗底，M與m的關(guān)系滿(mǎn)足M≥

2

m；
（2）當(dāng)M=2m時(shí)，A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A與圓心連線與水平方向的夾角θ為30°；
（3）A到達(dá)碗底時(shí)，A球的速度為

4 5 (2- 2 )gl

，B球速度為

4 5 ( 2 -1)gl

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，難度適中．