Question

2．我國將于2022年舉辦冬奧會(huì)，跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一，如圖為一跳臺(tái)滑雪賽道的簡化示意圖，圖中傾角θ=37°的長直助滑道AB長為L=100m，與半徑為R=24m的圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)，過圓弧軌道最低點(diǎn)C的切線水平，著陸坡CD傾角為α（tanα=$\frac{1}{2}$），質(zhì)量為m=60kg的運(yùn)動(dòng)員（含滑板）可視為質(zhì)點(diǎn)，從A點(diǎn)由靜止滑下，在C點(diǎn)水平飛出后落在著陸坡上的D點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦和空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求（保留三位有效數(shù)字）．
（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)圓弧滑道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）運(yùn)動(dòng)員落在著陸坡D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力，從而得出運(yùn)動(dòng)員對(duì)C點(diǎn)的壓力．
（2）運(yùn)動(dòng)員離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出D點(diǎn)的速度，從而得出運(yùn)動(dòng)員到達(dá)D點(diǎn)的動(dòng)能．

解答 解：（1）由幾何知識(shí)得，BC圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角也為θ=37°，設(shè)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)速度大小為v_C，運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得，
mgLsinθ+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$      ①
設(shè)運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)受到的支持力大小為F_N，在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$   ②
由①②式代入數(shù)據(jù)可得F_N=3.84×10³N．
由牛頓第三定律可得，運(yùn)動(dòng)員到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N′=F_N=3.84×10³N．
（2）由①式可得運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度v_C=36m/s，運(yùn)動(dòng)員在空中做平拋運(yùn)動(dòng)落在D點(diǎn)，位移偏角為α，設(shè)運(yùn)動(dòng)員落在D點(diǎn)的速度為v_D，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，水平位移為x，豎直位移為y，
根據(jù)位移關(guān)系有：$tanα=\frac{y}{x}$   ③
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：x=v_Ct  ④
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ⑤
運(yùn)動(dòng)員在D點(diǎn)的分速度v_y=gt    ⑥
根據(jù)平行四邊形定則有：${{v}_{D}}^{2}={{v}_{C}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}$   ⑦
運(yùn)動(dòng)員到達(dá)D點(diǎn)的動(dòng)能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$   ⑧
由③④⑤⑥⑦⑧代入數(shù)據(jù)解得E_k=7.78×10⁴J．
答：（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)圓弧滑道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力為3.84×10³N；
（2）運(yùn)動(dòng)員落在著陸坡D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為7.78×10⁴J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．