Question

5．某游樂(lè)場(chǎng)過(guò)山車(chē)模型簡(jiǎn)化為如圖所示，光滑的過(guò)山車(chē)軌道位于豎直平面內(nèi)，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，可視為質(zhì)點(diǎn)的過(guò)山車(chē)從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)．
（1）若要求過(guò)山車(chē)能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，則過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度至少要多少？
（2）考慮到游客的安全，要求全過(guò)程游客受到的支持力不超過(guò)自身重力的7倍，過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h不得超過(guò)多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)過(guò)山車(chē)能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)得出在最高點(diǎn)的速度值，根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒求解．
（2）過(guò)圓周最低點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）設(shè)過(guò)山車(chē)總質(zhì)量為M，從高度h₁處開(kāi)始下滑，恰能以v₁過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)．
在圓軌道最高點(diǎn)有：$Mg=M\frac{{{v_1}^2}}{R}$…①
運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒：$Mg{h_1}=2MgR+\frac{1}{2}M{v_1}^2$…②
由①②式得：
h₁=2.5R                 
高度h至少要2.5R．
（2）設(shè)從高度h₂處開(kāi)始下滑，過(guò)圓周最低點(diǎn)時(shí)速度為v₂，游客受到的支持力最大是F_N=7mg．
最低點(diǎn)：${F_N}-mg=m\frac{{{v_2}^2}}{R}$…③
運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒：$mg{h_2}=\frac{1}{2}m{v_2}^2$…④
由③④式得：
h₂=3R           
高度h不得超過(guò)3R．
答：（1）若要求過(guò)山車(chē)能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，則過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度至少是2.5R．
（2）考慮到游客的安全，要求全過(guò)程游客受到的支持力不超過(guò)自身重力的7倍，過(guò)山車(chē)初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h不得超過(guò)3R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，選擇合適的過(guò)程，并注意豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件即可求解．