Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中，A(-0.3, 0)、C是x軸上的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 0.3)。在第二象限內(nèi)以D(-0.3, 0.3)為圓心，0.3m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xoy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第一象限三角形OPC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。現(xiàn)有大量質(zhì)量為m=3×10-9kg、電荷量為q=1×10-4C的相同粒子，從A點(diǎn)平行xoy平面以相同速率，沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后恰好通過(guò)C點(diǎn)。已知α=37，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：

(1)粒子的初速度大小和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；

(2)粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）

【解析】（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑r，粒子的初速度v
洛倫茲力提供向心力：
可得： ①
根據(jù)題意和幾何知識(shí)，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×103m/s
沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直．所以，該粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

x方向：OC=vt ②
y方向：OP= at2 ③

根據(jù)幾何關(guān)系得： ④

根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma ⑤

②③④⑤式子聯(lián)立得：E=112.5V/m

（2）設(shè)速度方向與x軸正方向的夾角為θ的入射粒子，從x正半軸穿過(guò)時(shí)距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，粒子從F點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，其中O′是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度為vF，由于粒子的運(yùn)動(dòng)半徑等于磁場(chǎng)的半徑，所以四邊形ADFO′為菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是豎直方向，所以vF垂直于y軸從F′點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，仍做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)為xC，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)x方向的位移為x，F(xiàn)′點(diǎn)的坐標(biāo)為（xF′，yF′），F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yF，則yF=yF′，

類(lèi)平拋過(guò)程，x方向：x=vt′⑥

y方向：yF= at′2 ⑦

粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)為xC=x+xF′⑧

根據(jù)幾何關(guān)系得： ⑨
yF=r（1-cosθ） ⑩

聯(lián)立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：

令 ，所以xC=0.4k+0.4（1-k2）

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)k=0.5時(shí)xC有最大值，最大值為0.5m