Question

11．宇宙間存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量  均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，忽略其它星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為$\root{3}{\frac{Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)
• C． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍
• D． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

Answer 1

分析 每顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靠另外兩顆星萬有引力的合力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)合力提供向心力求出角速度的大小、向心加速度的大小，以及周期和線速度的大小，從而分析判斷．

解答 解：任意兩個(gè)星星之間的萬有引力為：F=$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$，
則其中一顆星星所受的合力${F}_{合}=2Fcos30°=\sqrt{3}F=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{L}^{2}}$，
根據(jù)$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{L}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，
解得ω=$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$，故A錯(cuò)誤．
加速度a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，與三星的質(zhì)量有關(guān)，故B錯(cuò)誤．
周期T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{3Gm}}$，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確．
線速度v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度大小不變，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．