Question

14．甲、乙兩顆人造地球衛(wèi)星在同一軌道平面上的不同高度處同向運(yùn)動(dòng)（可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)），甲距地面的高度為地球半徑的0.5倍，乙距地面的高度為地球半徑的5倍，兩衛(wèi)星的某一時(shí)刻正好位于地球表面某點(diǎn)的正上空．求：
（1）兩衛(wèi)星運(yùn)行的線速度之比？
（2）乙衛(wèi)星至少要經(jīng)過(guò)多少周期，兩衛(wèi)星間的距離才會(huì)達(dá)到最大？

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關(guān)系，結(jié)合軌道半徑之比求出線速度之比．
根據(jù)周期與軌道半徑的關(guān)系求出周期之比，結(jié)合兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度關(guān)系求出兩衛(wèi)星距離最大時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間．

解答 解：（1）衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
甲的軌道半徑為1.5R，乙的軌道半徑為6R，可知甲乙的軌道半徑之比為1：4，
則線速度之比為2：1．
（2）根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
因?yàn)檐壍腊霃街�比�?：4，則周期之比T_甲：T_乙=1：8，
又因?yàn)樾l(wèi)星間的距離第一次最大時(shí)，它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度差π：$\frac{2π}{{T}_{甲}}$t-$\frac{2π}{{T}_{乙}}$t=π，
解得：t=$\frac{{T}_{乙}}{14}$．
答：（1）兩衛(wèi)星運(yùn)行的線速度之比為2：1．
（2）乙衛(wèi)星至少要經(jīng)過(guò)$\frac{{T}_{乙}}{14}$，兩衛(wèi)星間的距離才會(huì)達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的一般應(yīng)用，其中衛(wèi)星間的距離第一次最大時(shí)，它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度差π是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．屬于中檔題目．