Question

4．如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l．第一、四象限有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子．在0.3t₀時間內兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣電場的影響）．已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時刻經(jīng)極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U₀的大�。�
（2）求t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑．
（3）求帶電粒子在磁場中運動的最短時間和最長時間．

Answer 1

分析 （1）首先求出電容器加有電壓時的電場強度，從而求出有電場時的加速度，把粒子的運動在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運動，后是勻速運動，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）當t₀=0時，粒子進入電場，根據(jù)已知條件求出離開電場時水平方向上的速度和豎直方向上的速度，即可求出和速度的大小，結合半徑公式即可求出在勻強磁場中做圓周運動的半徑．
（3）帶電粒子在磁場中的運動時間最短，即為進入磁場時速度方向與y軸的夾角最小的情況，當在電場中偏轉的角度最大時，在磁場中的運動時間最短，畫出離子運動的軌跡圖，結合幾何知識即可求出最短與最長時間．

解答 解：（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，
t₀時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為$\frac{1}{2}l$，
則有：$E=\frac{U_0}{l}$，由牛頓第二定律得：Eq=ma，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}$at₀²，
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉電壓為：U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）t₀時刻進入兩極板的帶電粒子，兩極板沒有電場，帶電粒子沿x軸方向做勻速直線運動．
速度大小為${V_0}=\frac{l}{t_0}$，
設帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，
則有：qvB=m$\frac{{{v_0}^2}}{R}$，聯(lián)立以上二式解得：R=$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$；
（3）2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．
帶電粒子離開磁場時沿y軸正方向的分速度為v'y=at₀，
設帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為d，
則：tanα=$\frac{v}{{v{'_y}}}$，解得：α=$\frac{π}{4}$，
帶電粒子在磁場運動的軌跡圖如圖所示，圓弧所對的圓心角為：2α=$\frac{π}{2}$，所求最短時間為t_min=$\frac{1}{4}T$，
帶電．立以上兩式解得最短時間為：t_min=$\frac{πm}{2Bq}$，
同理，t=0進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動的時間最長：${t_{max}}=\frac{3}{4}T$，
所以最長時間為：${t_{max}}=\frac{3πm}{2Bq}$；
答：
（1）電壓U₀的大小為$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$．
（2）t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$．
（3）帶電粒子在磁場中運動的最短時間為$\frac{πm}{2Bq}$，最長時間為$\frac{3πm}{2qB}$．

點評 該題考查到的知識點較多，首先是考察到了離子在勻強電場中的偏轉，并且電場還是變化的，這就要求我們要有較強的過程分析能力，對物體的運動進行分段處理；還考察到了離子在勻強磁場中的偏轉，要熟練的會用半徑公式和周期公式解決問題；在解決粒子在有界磁場中的運動時間問題時，要注意偏轉角度與運動時間的關系，熟練的運用幾何知識解決問題．是一道難度較大的題．