Question

一質(zhì)量M=2kg的長(zhǎng)木板B靜止在光滑的水平面上，B的右端與豎直擋板的距離為S=0.5m．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物體A以初速度v₀=6m/s從B的左端水平滑上B，當(dāng)B與豎直擋板每次碰撞時(shí)，A都沒(méi)有到達(dá)B的右端．
設(shè)定物體A可視為質(zhì)點(diǎn)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，B與豎直擋板碰撞時(shí)間極短且碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，g取10m/s²．求：
（1）B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值各是多少？
（2）最后要使A不從B上滑下，木板B的長(zhǎng)度至少是多少？（最后結(jié)果保留三位有效數(shù)字．）

Answer 1

分析：（1）A在B上滑動(dòng)時(shí)，以AB整體為研究對(duì)象可知，AB組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由此可以求出AB速度相等時(shí)的速度；對(duì)B，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出此過(guò)程滑行的位移，即可判斷出B與擋板碰撞時(shí)，A、B還未達(dá)到共同速度．再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒和對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理分別列式，即可求得B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間A、B的速度值．
（2）B與擋板第一次碰后向左減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得向左運(yùn)動(dòng)的最大距離．在A的作用下B再次反向向右運(yùn)動(dòng)，可達(dá)到共同速度，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出共同速度．當(dāng)B第二次與擋板碰撞后，B的速度立即反向，而A將繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，此后由于系統(tǒng)的總動(dòng)量向左，最后A、B將以共同速度v₃向左勻速運(yùn)動(dòng)．再運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒求出A在B上運(yùn)動(dòng)的總路程，就是木板B最小的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）設(shè)A、B達(dá)到共同速度為v₁時(shí)，B向右運(yùn)動(dòng)距離為S₁
由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=（M+m）v₁
由動(dòng)能定理有：μmgS1=

1

2

M

v

2 1

聯(lián)立解得：S₁=

1 2 ?M?( mv0 M+m )2

μmg

=

1 2 ×2×( 1×6 1+2 )2

0.2×1×10

m=2m                                            
由于S=0.5m＜2m，可知B與擋板碰撞時(shí)，A、B還未達(dá)到共同速度．設(shè)B與擋板碰撞前瞬間A的速度為v_A，B的速度為v_B，則
由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=mv_A+Mv_B
由動(dòng)能定理有：μmgS=

1

2

M

v

2 B

聯(lián)立解得：v_A=4m/s、v_B=1m/s                                 
（2）B與擋板第一次碰后向左減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B速度減為零時(shí)，B向左運(yùn)動(dòng)的距離設(shè)為S_B，由動(dòng)能定理有：μmgSB=

1

2

M

v

2 B

由上式解得：S_B=0.5m                                         
在A的作用下B再次反向向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)當(dāng)A、B向右運(yùn)動(dòng)達(dá)到共同速度v₂時(shí)B向右運(yùn)動(dòng)距離為S₂，由動(dòng)量守恒定律有：mv_A-Mv_B=（M+m）v₂
由動(dòng)能定理有：μmgS2=

1

2

M

v

2 2

解得：v2=

2

3

m/s、S2=

2

9

m＜SB
故A、B以共同速度

2

3

m/s向右運(yùn)動(dòng)，B第二次與擋板碰撞后，以原速率反彈向左運(yùn)動(dòng)．此后由于系統(tǒng)的總動(dòng)量向左，故最后A、B將以共同速度v₃向左勻速運(yùn)動(dòng)．
由動(dòng)量守恒定律有：（M-m）v₂=（M+m）v₃                           
解得：v3=

2

9

m/s
設(shè)A在B上運(yùn)動(dòng)的總量程為L(zhǎng)（即木板B的最小長(zhǎng)度），由系統(tǒng)功能關(guān)系得：μmgL=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 3

代入數(shù)據(jù)解得：L=8.96m         
答：
（1）B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值分別是4m/s、1m/s．
（2）最后要使A不從B上滑下，木板B的長(zhǎng)度至少是8.96m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是A與B組成的系統(tǒng)在碰撞過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒，B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循牛頓第二定律，A在B上滑動(dòng)時(shí)，A相對(duì)于B滑動(dòng)的位移為相對(duì)位移，摩擦力在相對(duì)位移上做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的損耗．