Question

1．有一宇宙飛船，以速度v接近某行星表面勻速飛行，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得下列物理量的結果錯誤的是（　�。�

• A． 該行星的半徑為$\frac{vT}{2π}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． 該行星的質量為$\frac{{4{π^2}v}}{{G{T^2}}}$
• D． 該行星表面的重力加速度為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根據線速度與周期的關系求出行星的半徑；根據萬有引力提供向心力求出行星的質量，結合行星的體積求出行星的平均密度；根據行星的半徑和行星質量的表達式求出行星的質量．根據萬有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：A、根據$v=\frac{2πR}{T}$，得行星半徑$R=\frac{vT}{2π}$，故A正確；
B、根據$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得行星質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，則行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故B正確；
C、由B知$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}×\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$，故C錯誤；
D、根據$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，解得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{vT}{2π}$=$\frac{2πv}{T}$，故D正確；
本題選錯誤的，故選：C

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．