Question

9．2013年12月14日，北京飛行控制中心傳來(lái)好消息，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器平穩(wěn)落月．“嫦娥三號(hào)”接近月球表面的過程可簡(jiǎn)化為三個(gè)階段：一、距離月球表面一定的高度以速度v₀環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，打開推力發(fā)動(dòng)機(jī)減速，下降到距月球表面H=100米高處時(shí)懸停，尋找合適落月點(diǎn)；二、找到落月點(diǎn)后繼續(xù)下降，距月球表面h=4m時(shí)速度再次減為0；三、此后，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使它做自由落體運(yùn)動(dòng)落到月球表面．已知“嫦娥三號(hào)”著陸時(shí)的質(zhì)量為1200kg，月球表面的重力加速度g′=1.6m/s²，月球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量（用字母g′、R、G表示）；
（2）環(huán)繞運(yùn)行時(shí)離月面的高度（用字母g′、R，v₀表示）．
（3）從懸停在100米處到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”做的功．（此過程重力加速度可視為g′=1.6m/s²恒定不變，計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在月球表面受到的重力等于萬(wàn)有引力，由此求出月球質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求解；
（3）用動(dòng)能定理可以求出發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)嫦娥三號(hào)做的功．

解答 解：（1）根據(jù)在星體表面重力等于萬(wàn)有引力知
m g′=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
解得M=$\frac{g{′R}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥三號(hào)”距離月球表面一定的高度以速度v₀環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{（R+h）}$
解得：h=$\frac{g{′R}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$-R；
（3）由100m下降過程中到4m前發(fā)動(dòng)機(jī)會(huì)做功，取100m和4m為初末狀態(tài)，前后動(dòng)能沒變，
根據(jù)動(dòng)能定理列式    mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵ J    
即發(fā)動(dòng)機(jī)做功為-1.8×10⁵ J；
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{g{′R}^{2}}{G}$；
（2）環(huán)繞運(yùn)行時(shí)離月面的高度是$\frac{g{′R}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$-R；
（3）從懸停在100米處到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”做的功是-1.8×10⁵．

點(diǎn)評(píng) 本題難度不大，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、平衡條件、動(dòng)能定理即可正確解題，注意做功的正負(fù)．