Question

（2011?江蘇模擬）如圖所示，一群（不計(jì)重力）不同速度的質(zhì)量為m，電量為q的帶正的粒子進(jìn)入電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感強(qiáng)度為B的速度選擇器（方向如圖所示）后，緊接著進(jìn)入垂直于紙面向外的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和2B，從磁場(chǎng)Ⅰ的邊界MN上的a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁=π m/6qB穿過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ后進(jìn)入右邊磁場(chǎng)Ⅱ并按某一路徑再返回到磁場(chǎng)Ⅰ的邊界MN上的某一點(diǎn)b，（途中虛線(xiàn)為磁場(chǎng)區(qū)域的分界面）

求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）中間場(chǎng)區(qū)的寬度d；
（3）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_ab；
（4）入射點(diǎn)a到出射點(diǎn)b的距離．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在速度選擇器做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，可求出帶電粒子的速度．
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式可求出半徑和周期，根據(jù)題意，帶電粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁=

πm

6qB

穿過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ，能求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，由幾何知識(shí)求解中間磁場(chǎng)的寬度d．
（3）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中速度的偏向角等于軌跡的圓心角，由幾何知識(shí)求出粒子到達(dá)b時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角，從而知道速度的偏向角θ，由t=

θ

2π

T求得粒子在磁場(chǎng)Ⅱ運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，就能得到總時(shí)間．
（4）根據(jù)幾何關(guān)系求解入射點(diǎn)a到出射點(diǎn)b的距離．

解答：解：（1）帶電粒子在速度選擇器做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有
   qE=qvB，得  v=

E

B

（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)，由洛倫茲力提供向心力，則有
   qvB=m

v2

r

，得 r=

mv

qB

周期為  T=

2πr

v

=

2πm

qB

由題，帶電粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁=

πm

6qB

穿過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ，則t1=

1

12

T，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為  θ=30°
所以磁場(chǎng)Ⅰ的寬度為  d=rsin30°=

mE

2qB2

（3）帶電粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的半徑為  r′=

mv

2qB

，周期為T(mén)′=

2πm

2qB

=

πm

qB

由于帶電粒子在磁場(chǎng)中速度的偏向角等于軌跡的圓心角，則帶電粒子第一經(jīng)過(guò)兩種磁場(chǎng)的邊界時(shí)，與邊界的夾角為60°，根據(jù)幾何知識(shí)得知，粒子到達(dá)b時(shí)，與磁場(chǎng)邊界的夾角也為60°，則速度的偏向角為120°，所以粒子在磁場(chǎng)Ⅱ運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₂=

1

3

T′=

πm

3qB

故粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_ab=2t₁+t₂=

2πm

3qB

（4）根據(jù)幾何知識(shí)得，入射點(diǎn)a到出射點(diǎn)b的距離為
  y_ab=r+r（1-cos30°）=

4- 3

2

r=

(4- 3 )mE

2qB2

答：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為

E

B

；
（2）中間場(chǎng)區(qū)的寬度d是

mE

2qB2

；
（3）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_ab是=

2πm

3qB

；
（4）入射點(diǎn)a到出射點(diǎn)b的距離是

(4- 3 )mE

2qB2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一抓住帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的偏向角等于軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角；二是利用幾何知識(shí)求出空間的距離．