Question

6．如圖所示，在水平地面上固定一個(gè)傾角α=45°、高H=4m的斜面．在斜面上方固定放置一段由內(nèi)壁光滑的圓管構(gòu)成的軌道ABCD，圓周部分的半徑R=$\frac{2}{3}$m，AB與圓周相切于B點(diǎn)，長(zhǎng)度為$\sqrt{3}$R，與水平方向的夾角θ=60°，軌道末端豎直，已知圓周軌道最低點(diǎn)C、軌道末端D與斜面頂端處于同一高度．現(xiàn)將一質(zhì)量為0.1kg，直徑可忽略的小球從管口A處由靜止釋放，g取10m/s²．
（1）求小球在C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若小球與斜面碰撞（不計(jì)能量損失）后做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平地面上，則碰撞點(diǎn)距斜面左端的水平距離x多大時(shí)小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大？是多少？

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系求出AD之間的豎直高度為h，A到C根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)速度，在C點(diǎn)，根據(jù)向心力公式求解；
（2）從A到碰撞點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出碰撞時(shí)的速度，由于沒(méi)有能量損失，則碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度即為碰撞時(shí)的速度，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）設(shè)AD之間的豎直高度為h，
由幾何關(guān)系可知：h=R+Rsin30°+l_ABsin60°=2m
A到C根據(jù)動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
在C點(diǎn)：F_N-mg=$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F_N=7N  
由牛頓第三定律可知小球在C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7N
（2）從A到碰撞點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：mg（h+x）=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
平拋過(guò)程：H-x=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
平拋水平位移：S_x=v₀t
代入數(shù)據(jù)整理得：S_x=$\sqrt{4（2+x）（4-x）}$
可知：當(dāng)x=1m時(shí)平拋水平位移S_x有最大值
S_m=6m 
答：（1）求小球在C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7N；
（2）若小球與斜面碰撞（不計(jì)能量損失）后做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平地面上，則碰撞點(diǎn)距斜面左端的水平距離當(dāng)x=1m時(shí)平拋水平位移S_x有最大值，最大值是6m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、向心力公式以及平拋運(yùn)動(dòng)基本公式得直接應(yīng)用，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，特別是從A到碰撞點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出碰撞時(shí)的速度，由于沒(méi)有能量損失，則碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度即為碰撞時(shí)的速度，難度適中．