Question

開普勒第三定律也適用于神州七號(hào)飛船的變軌運(yùn)動(dòng)．如圖所示，飛船與火箭分離后進(jìn)入預(yù)定近地圓形軌道飛行，某一時(shí)刻飛船在近地點(diǎn)啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)加速，經(jīng)過較短時(shí)間后飛船速度增大并轉(zhuǎn)移到與地球表面相切的橢圓軌道，飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)再一次點(diǎn)火加速，將沿半徑為 r 的圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若不計(jì)空氣的阻力，試求，神州七號(hào)從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的時(shí)間（變軌時(shí)間）．

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供向心力、重力等于萬有引力和開普勒第三定律聯(lián)合列方程即可求解．

解答：解：當(dāng)飛船沿半徑為r的圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2
所以T2=

2πr3

GM

…①
根據(jù)開普勒第三定律：

a3

T2

=恒量，有

r3

T2

=

( R+r 2 )3

(2t)2

…②
又因?yàn)椋骸?span id="yqqzcs9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

GMm

R2

=mg      ∴GM=gR2…③
由①②③解得：
t=

π(R+r)

2R

R+r 2g

答：神州七號(hào)從近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的時(shí)間為t=

π(R+r)

2R

R+r 2g

．

點(diǎn)評：此題不僅考查有引力提供向心力、重力等于萬有引力的關(guān)系式，而且要理解開普勒第三定律，并會(huì)運(yùn)用它來解題．