Question

如圖所示，在直角坐標系xoy的第二象限中，有方向沿x軸正向的勻強電場E₁，在第一象限中，邊界OM和x軸之間有場強為E₂的勻強電場，方向與邊界OM平行；邊界OM和y軸之間有場強為B的勻強磁場，方向與紙面垂直（邊界OM和x軸之間的夾角θ=45°）．坐標系中有a、b、c、d四點，其坐標分別為（-L，0）、（0，2L）、（2L，2L）、（2L，0）．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子（不計重力），由a點以v₀的初速度（方向沿y軸正向）射入電場，依次經(jīng)過b點和c點，最后通過d點．求：
（1）E₁的大��；
（2）B的大小和方向；
（3）c、d兩點的電勢差．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強電場中根據(jù)電場力提供合力使其做類平拋運動，由牛頓第二定律，結(jié)合運動學公式從而即可求解；
（2）由幾何關(guān)系可確定OD的距離，再由運動的分解可列出速度間的關(guān)系式，最后由運動軌跡的半徑與周期公式，借助于已知長度，來確定磁場大�。�
（3）粒子在勻強電場中E ₂中仍然做做類平拋運動，根據(jù)運動的軌跡確定沿電場方向的位移和垂直于電場方向的位移，然后根據(jù)運動學的公式求出電場強度，最后根據(jù)U=Ed計算出cd之間的電勢差．

解答：解：（1）粒子從a運動到b做類平拋運動，設(shè)所用時間為t₁，加速度為a₁，則由運動規(guī)律和牛頓第二定律有：
豎直方向：2L=v₀t₁
水平方向：L=

1

2

a1

t

2 1

           a1=

qE1

m

解得　E1=

m v 2 0

2qL

（2）設(shè)粒子通過b點時的速率為v_b，
由動能定理得：

1

2

m

v

2 b

-

1

2

m

v

2 0

=qE1?L
得vb=

2

v 0
與豎直方向 夾角：cosθ=

v0

2 v0

=

2

2

得θ=45°
粒子由b點進入磁場后做勻速圓周運動，
做過b點的速度的垂線，和bc的垂直平分線，確定圓心如圖，可知粒子垂直進入電場E₂，由幾何關(guān)系可得圓軌道的半徑 r=

2

L
∵qvbB=m

v 2 b

r

，
∴B=

mv0

qL

方向垂直紙面向外　　　
（3）粒子由c點進入電場E₂后做類平拋運動，設(shè)所用時間為t₂，加速度為a₂，則由運動規(guī)律和牛頓第二定律有：

2

L=

2

v0t2          

2

L=

1

2

a2

t

2 2

           a2=

qE2

m

解得　E2=

2 2 m v 2 0

qL

c、d兩點的電勢差：Ucd=E2?

2

L=

4m v 2 0

q

答：（1）E₁的大小

m v 2 0

2qL

；
（2）B的大小

mv0

qL

，方向垂直紙面向外；
（3）c、d兩點的電勢差

4m v 2 0

q

．

點評：粒子做類平拋時，由牛頓第二定律與運動學公式相結(jié)合來綜合運用；在做勻速圓周運動時，由半徑公式與幾何關(guān)系來巧妙應用，從而培養(yǎng)學生在電學與力學綜合解題的能力．注意區(qū)別磁場的圓形與運動的軌跡的圓形的半徑不同．