【題目】如圖所示，兩根剛性輕桿和在端牢固黏接在一起，延長(zhǎng)線(xiàn)與的夾角為銳角，桿長(zhǎng)為，桿長(zhǎng)為.在桿的、和三點(diǎn)各固連一質(zhì)量均為的小球，構(gòu)成一剛性系統(tǒng).整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑豎直擋板.桿延長(zhǎng)線(xiàn)與擋板垂直.現(xiàn)使該系統(tǒng)以大小為、方向沿的速度向擋板平動(dòng).在某時(shí)刻，小球與擋板碰撞，碰撞結(jié)束時(shí)球在垂直于擋板方向的分速度為零，且球與擋板不粘連.若使球碰撞后，球先于球與擋板相碰，求夾角應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

【答案】

【解析】

如圖乙所示，建直角坐標(biāo)系，軸與擋板垂直，軸與擋板重合.碰撞前體系質(zhì)心的速度為，方向沿正方向，以表示系統(tǒng)的質(zhì)心，以和表示碰撞后質(zhì)心的速度分量，表示墻作用于小球的沖量的大小.

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

，①

.②

由①②式得

，.③

可在質(zhì)心參考系中考察系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量.在球與擋板碰撞過(guò)程中，質(zhì)心的坐標(biāo)為

，.④

球碰擋板前，三小球相對(duì)于質(zhì)心靜止，對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為零；球碰擋板后，質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心參考系仍是靜止的，三小球相對(duì)質(zhì)心參考系的運(yùn)動(dòng)是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，則三小球?qū)|(zhì)心的角動(dòng)量為

，⑤

式中、和分別是、和三球到質(zhì)心的距離，由圖乙可知

.⑥

由⑤⑥式得

.⑦

在碰撞過(guò)程中，質(zhì)心有加速度，質(zhì)心參考系是非慣性參考系.在質(zhì)心參考系中考察動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須引入慣性力.但作用于質(zhì)點(diǎn)系的慣性力的合力通過(guò)質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心的力矩等于零，不影響質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量，故在質(zhì)心參考系中，相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量的變化仍取決于作用于球的沖量的沖量矩，即有

.⑧

由⑦⑧式得

.⑨

球相對(duì)于質(zhì)心參考系的速度分量分別為

，⑩

.

球相對(duì)固定參考系速度的分量為

.

由③④⑨式得

.

根據(jù)題意有

.

由得

.

由⑨式得

.

球若先于球與擋板發(fā)生碰撞，則在球與擋板碰撞后，整個(gè)系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)角，即桿至少轉(zhuǎn)到沿方向，如圖丙所示.系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)所需時(shí)間為

.

在此時(shí)間內(nèi)質(zhì)心沿方向向右移動(dòng)的距離為

.

若，

則球先于球與擋板碰撞.

由此可得，

即.

本題是第29屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽復(fù)賽試題.

相對(duì)于前面兩題而言，本題的對(duì)象更多，結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，過(guò)程也更多，難度自然也大了不少.但若能緊緊抓住動(dòng)量、能量、角動(dòng)量三方面的特性，特別是將動(dòng)量守恒問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)墻沖擊時(shí)的沖量問(wèn)題，靈活運(yùn)用動(dòng)量定理，就能正確解答本題；其次則是要盯住系統(tǒng)的質(zhì)心，運(yùn)用角動(dòng)量定理，得到撞后系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；最后則是根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，完成解答.

實(shí)際上，在本題作為考題之前，前面兩題已在各競(jìng)賽書(shū)籍中出現(xiàn)，而本題則是在前面兩題基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)象、過(guò)程的增加，推高了試題的難度，但本質(zhì)上并沒(méi)有加入新的知識(shí)點(diǎn).值得注意的是，這一命題思路在近年的競(jìng)賽命題中較為常見(jiàn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，物體A與B用跨過(guò)滑輪的細(xì)繩相連，已知物體B的重力為80N，地面對(duì)B的支持力為60N，連接物體B的細(xì)繩與水平地面夾角為30°，所有物體保持靜止．

（1）計(jì)算地面對(duì)物體B的摩擦力．

（2）計(jì)算物體A的重力．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】用圖所示的光電管研究光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中，用某種頻率的單色光a照射光電管陰極K，電流計(jì)G的指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)。而用另一頻率的單色光b照射光電管陰極K時(shí)，電流計(jì)G的指針不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，那么（　　）

A.a光的頻率一定小于b光的頻率

B.增加b光的強(qiáng)度可能使電流計(jì)G的指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)

C.用a光照射光電管陰極K時(shí)通過(guò)電流計(jì)G的電流是由d到c

D.只增加a光的強(qiáng)度可使通過(guò)電流計(jì)G的電流增大

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】藍(lán)牙是一種無(wú)線(xiàn)技術(shù),可實(shí)現(xiàn)固定設(shè)備、移動(dòng)設(shè)備和樓宇個(gè)人域網(wǎng)之間的短距離數(shù)據(jù)交換，但設(shè)備間超過(guò)一定距離時(shí)便無(wú)法實(shí)現(xiàn)通訊。某次實(shí)驗(yàn)中，在甲、乙兩小車(chē)上安裝了某種藍(lán)牙設(shè)備，該藍(lán)牙設(shè)備正常通選的有效距離為10米。兩車(chē)只能沿一條直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖所示。共完成了兩組實(shí)驗(yàn)，每組實(shí)驗(yàn)兩車(chē)的起始距離都為d。兩組實(shí)驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下。

第一組，乙車(chē)保持靜止，甲車(chē)從O點(diǎn)由靜止出發(fā)，以的加速度向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)3.10s后兩車(chē)不能夠再通訊。

第二組，乙車(chē)向左具有一定的初速度，以的加速度做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，而甲車(chē)仍做上述運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)1s后兩車(chē)不能夠再通訊.

請(qǐng)完成下列問(wèn)題，要求所有問(wèn)題的最終結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字.

（1）求甲、乙兩車(chē)初始距離d.

（2）求乙車(chē)的初速度的大小.

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖甲，小球用不可伸長(zhǎng)的輕繩連接繞定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度大小為v，此時(shí)繩子拉力大小為F，拉力F與速度的平方的關(guān)系如圖乙所示，圖象中的數(shù)據(jù)a和b以及重力加速度g都為已知量，以下說(shuō)法正確的是（ ）

A.數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量有關(guān)

B.數(shù)據(jù)b與小球的質(zhì)量無(wú)關(guān)

C.比值只與小球的質(zhì)量有關(guān)，與圓周軌道半徑無(wú)關(guān)

D.利用數(shù)據(jù)a、b和g能夠求出小球的質(zhì)量和圓周軌道半徑

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】在同一直線(xiàn)上做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的甲、乙兩物體的x－t圖線(xiàn)，下列說(shuō)法中正確的是( )

A.甲啟動(dòng)的時(shí)刻比乙早t1

B.甲比乙運(yùn)動(dòng)得慢,且甲、乙運(yùn)動(dòng)方向相反

C.當(dāng)t＝t2時(shí)，兩物體相距最遠(yuǎn)

D.當(dāng)t＝t3時(shí)，兩物體相距x1

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】某高速列車(chē)剎車(chē)前的速度為v0＝50m/s，剎車(chē)獲得的加速度大小為a＝5 m/s2，求：

(1)列車(chē)剎車(chē)開(kāi)始后20s內(nèi)的位移

(2)從開(kāi)始剎車(chē)到位移為210m所經(jīng)歷的時(shí)間

(3)靜止前2秒內(nèi)列車(chē)的位移.

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，質(zhì)量為m的長(zhǎng)木板A靜置在光滑水平面上，通過(guò)輕繩對(duì)木板A始終施加一個(gè)恒定的水平拉力T，當(dāng)木板A運(yùn)動(dòng)距離為s時(shí)速度達(dá)到，此時(shí)在木板A的最左端輕放一質(zhì)量為4m的物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），最終B恰好未從木板A上滑落。A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)，且認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。求：

(1)木板速度達(dá)到時(shí)，輕繩拉力T的功率；

(2)木板A的長(zhǎng)度；

(3)當(dāng)物塊B輕放在木板A的最左端時(shí)，立即對(duì)B施加一個(gè)水平向左的恒力F，其他條件不變，在保證物塊B能滑離木板A的前提下，求恒力F的最小值和A、B間因摩擦而產(chǎn)生的最大熱量。

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

【題目】用電磁打點(diǎn)計(jì)時(shí)器探究小車(chē)速度隨時(shí)間變化的規(guī)律的實(shí)驗(yàn)中

(1)除打點(diǎn)計(jì)時(shí)器（含紙帶，復(fù)寫(xiě)紙）、小車(chē)、平板、導(dǎo)線(xiàn)及開(kāi)關(guān)外，在下面的儀器和器 材中，必需使用的有__________。

A.電壓合適的50Hz的交流電源 B.電壓可以調(diào)的直流電源

C.刻度尺 D.秒表 E.天平 F.鉤碼

(2)下列實(shí)驗(yàn)操作中正確的是_______

A.打點(diǎn)計(jì)時(shí)器應(yīng)固定在長(zhǎng)木板上，且靠近滑輪一端

B.開(kāi)始實(shí)驗(yàn)時(shí)小車(chē)應(yīng)靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器一端

C.應(yīng)先接通電源，待打點(diǎn)穩(wěn)定后再釋放小車(chē)

D.牽引小車(chē)的鉤碼個(gè)數(shù)越多越好

(3)某小組利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器對(duì)物塊沿長(zhǎng)木板加速下滑時(shí)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探究。物塊拖動(dòng)紙帶下 滑，打出的紙帶一部分如圖所示。已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器所用交流電的頻率為50Hz，紙帶上標(biāo)出 的每?jī)蓚�(gè)相鄰點(diǎn)之間還有4個(gè)打出的點(diǎn)未畫(huà)出。在A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器 最先打出的是______點(diǎn)。在打出C點(diǎn)時(shí)物塊的速度大小為______m/s（保留3位有效數(shù)字）； 物塊下滑的加速度大小為______m/s2（保留2位有效數(shù)字）。

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