Question

6．如圖所示，沿直徑方向開有一凹槽的圓盤水平放置，可繞過中心O點(diǎn)的豎直軸轉(zhuǎn)動，凹槽內(nèi)有一根輕質(zhì)彈簧．彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端連接質(zhì)量為m的小滑塊．彈簧的勁度系數(shù)為k、原長為l₀，圓盤半徑為3l₀，槽底與小滑塊間的動障擦因數(shù)μ=$\frac{3k{l}_{0}}{5mg}$，凹槽側(cè)面光滑，圓盤開始轉(zhuǎn)動時，彈簧處于原長l₀，已知重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，則在圓盤轉(zhuǎn)動過程中：
（1）若要使彈簧不發(fā)生形變，求圓盤轉(zhuǎn)動的角速度必須滿足的條件；
（2）當(dāng)彈簧長度為2l₀時，若小滑塊受到的摩擦力恰好為零，求此時滑塊的動能；
（3）當(dāng)彈簧長度為某一值1時，滑塊相對圓盤靜止時的動能可在一定范圍內(nèi)變化，該變化區(qū)間內(nèi)動能的最大差值稱為“動能閾”，用△E_k表示，請通過計(jì)算寫出“動能閾”△E_k與彈簧長度l間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）最大靜摩擦力提供向心力此時角速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求得；
（2）彈簧的彈力剛好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得；
（3）當(dāng)彈簧的長度為l時，速度較小和較大，物體受到的靜摩擦力指向圓心和背離圓心，根據(jù)牛頓第二定律求得最大速度和最小速度，即可求得動能閾

解答 解：（1）最大靜摩擦力提供向心力時此時的角速度最大，故μmg≥mω²l₀，
解得：$ω≤\sqrt{\frac{μg}{{l}_{0}}}$=$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$
（2）當(dāng)彈簧長度為2l₀時，若小滑塊受到的摩擦力恰好為零，此時彈簧的彈力提供向心力，則$k{l}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{2{l}_{0}}$，
此時的動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：${E}_{k}={kl}_{0}^{2}$
（3）當(dāng)彈簧長度為某一值1時，此時彈簧的彈力F=k（l-l₀），當(dāng)速度較小時，受到的靜摩擦力方向背離圓心，則：$k（l-{l}_{0}）-μmg=\frac{mv{′}^{2}}{l}$，
此時的動能為：${E}_{k1}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{2}k{l}^{2}-\frac{4}{5}kl{l}_{0}$
當(dāng)線速度較大時，靜摩擦力指向圓心，則：$k（l-{L}_{0}）+μmg=\frac{mv{″}^{2}}{l}$，
此時的動能為：${E}_{k2}=\frac{1}{2}mv{″}^{2}=\frac{1}{2}k{l}^{2}-\frac{1}{5}kl{l}_{0}$
故“動能閾”△E_k與彈簧長度l間的關(guān)系式$△{E}_{k}={E}_{k2}-{E}_{k1}=\frac{3}{5}kl{l}_{0}$
答：（1）圓盤轉(zhuǎn)動的角速度必須滿足的條件為$ω≤\sqrt{\frac{3k}{5m}}$；
（2）此時滑塊的動能為${kl}_{0}^{2}$；
（3）“動能閾”△E_k與彈簧長度l間的關(guān)系式為$△{E}_{k}=\frac{3}{5}kl{l}_{0}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道物塊做圓周運(yùn)動向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度中等．