Question

12．如圖所示，在0≤x≤$\sqrt{3}$a，0≤y≤a的長方形區(qū)域有垂直于xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，坐標(biāo)原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（重力不計），它們的速度方向均在xoy平面內(nèi)的第一象限，且與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)，速度大小不同，且滿足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$，已知粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，則下列說法正確的是（　　）

• A． 所有粒子在磁場中運動經(jīng)歷最長的時間為$\frac{T}{6}$
• B． 所有粒子在磁場中運動經(jīng)歷最長的時間小于$\frac{T}{6}$
• C． 從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時間小于$\frac{T}{12}$
• D． 從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時間為$\frac{T}{12}$

Answer 1

分析 分析粒子運動軌跡隨速度與y軸正方向的夾角的變化關(guān)系，求得從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷最短的時間；再分析粒子能到達(dá)的距離o點最遠(yuǎn)處，求出該點對應(yīng)的運動時間即為運動的最長時間．

解答 解：粒子在洛倫茲力作用下做圓周運動運動，洛倫茲力作為向心力，所以有，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，則有，$R=\frac{mv}{Bq}$；
又因為$\frac{2qBa}{m}≤v≤\frac{2qBa}{m}$，所以，2a≤R≤3a；
粒子做圓周運動的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
CD、當(dāng)速度與y軸正方向的夾角θ為零時，有；
R越大，對應(yīng)的φ越小，所以，當(dāng)R=3a時，φ最小，此時，$sinφ=\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，所以，$φ＜\frac{π}{6}$，$t=\frac{φ}{2π}T＜\frac{1}{12}T$，故C正確，D錯誤；
AB、θ從0增大，則粒子在磁場上邊界的出射點右移，設(shè)磁場橫向無右邊界，則粒子在上邊界最遠(yuǎn)能到達(dá)的位置為粒子做圓周運動與上邊界相切的點，
此時，粒子出射點的橫坐標(biāo)$x=\sqrt{{R}^{2}-（R-a）^{2}}=\sqrt{2Ra-{a}^{2}}≥\sqrt{3}a$，所以，粒子一定能到達(dá)磁場邊界的右上頂點且粒子做圓周運動的軌跡都是劣弧，該點對應(yīng)粒子做圓周運動的弦最大值，所以，粒子出射點為磁場邊界右上邊界點時，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過角度最大，運動時間最長；
對應(yīng)于相同的弦長，半徑越小，中心角越大，所以，當(dāng)R=2a，且粒子出射點為磁場邊界右上頂點時，粒子在磁場中運動經(jīng)歷的時間最長；
此時，半徑和弦長相等，所以，粒子轉(zhuǎn)過的角度$φ=\frac{1}{3}π$，運動經(jīng)歷的時間$t=\frac{\frac{1}{3}π}{2π}T=\frac{1}{6}T$，故A正確，B錯誤；
故選：AC．

點評 在求解粒子在磁場中的運動問題時，要注意分析粒子的運動軌跡，如本題要分析粒子是否能到達(dá)磁場邊界的右上頂點．