Question

【題目】如圖（a）所示，兩個(gè)完全相同的“人”字型金屬軌道面對(duì)面正對(duì)著固定在豎直平面內(nèi)，間距為d，它們的上端公共軌道部分保持豎直，下端均通過(guò)一小段彎曲軌道與一段直軌道相連，底端置于絕緣水平桌面上。MM′、PP′（圖中虛線）之下的直軌道MN、M′N′、PQ、P′Q′長(zhǎng)度均為L(zhǎng)且不光滑（軌道其余部分光滑），并與水平方向均構(gòu)成37°斜面，在左邊軌道MM′以下的區(qū)域有垂直于斜面向下、磁感強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在右邊軌道PP′以下的區(qū)域有平行于斜面但大小未知的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Bx，其它區(qū)域無(wú)磁場(chǎng)。QQ′間連接有阻值為2R的定值電阻與電壓傳感器（e、f為傳感器的兩條接線）。另有長(zhǎng)度均為d的兩根金屬棒甲和乙，它們與MM′、PP′之下的軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=1/8。甲的質(zhì)量為m、電阻為R；乙的質(zhì)量為2m、電阻為2R。金屬軌道電阻不計(jì)。先后進(jìn)行以下兩種操作：

操作Ⅰ：將金屬棒甲緊靠豎直軌道的左側(cè)，從某處由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到底端NN′過(guò)程中棒始終保持水平，且與軌道保持良好電接觸，計(jì)算機(jī)屏幕上顯示的電壓—時(shí)間關(guān)系圖像U—t圖如圖（b）所示（圖中U已知）；

操作Ⅱ：將金屬棒甲緊靠豎直軌道的左側(cè)、金屬棒乙（圖中未畫出）緊靠豎直軌道的右側(cè)，在同一高度將兩棒同時(shí)由靜止釋放。多次改變高度重新由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)中兩棒始終保持水平，發(fā)現(xiàn)兩棒總是同時(shí)到達(dá)桌面。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）試求操作Ⅰ中甲到MM′的速度大��；

（2）試求操作Ⅰ全過(guò)程定值電阻上產(chǎn)生的熱量Q和通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t；

（3）試求右邊軌道PP′以下的區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)Bx的方向和大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）32B0，沿斜面向下

【解析】

（1）由動(dòng)能定理得：mgh=mv12
由圖象知：棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)定值電阻2R的電壓為U，通過(guò)的電流為：
則有：U=I1×2R=
解得：

（2）當(dāng)甲棒離開磁場(chǎng)時(shí)的速度為v2，則有：

對(duì)甲棒，由動(dòng)能定理，有：

式中Q總為克服安培力所做的功，轉(zhuǎn)化成了甲、乙棒上產(chǎn)生的熱量；

定值電阻上產(chǎn)生的熱量為：

對(duì)甲棒，由動(dòng)量定理，有

（mgsin370-μmgcos370）t-B02d2L/3R=m（v2-v1）

解得：

（3）Bx沿斜面向下； （兩棒由靜止釋放的高度越高，甲棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的安培力越大，加速度越小，而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力應(yīng)垂直斜面向下），從不同高度下落兩棒總是同時(shí)到達(dá)桌面，說(shuō)明兩棒運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)刻相同。

對(duì)甲棒，根據(jù)牛頓第二定律，有

對(duì)乙棒，根據(jù)牛頓第二定律，有

解得：