Question

如圖所示，在oxy平面的第一象限內(nèi)，存在以x軸（0≤x≤L）、y軸（0≤y≤L）及雙曲線y=

L 2

4x

的一段為邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域I，在第二象限內(nèi)的-2L≤x≤一L、0≤y≤L所包圍的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域Ⅱ．兩個(gè)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)大小均為E，電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計(jì)電子所受重力．求：
（1）從電場(chǎng)區(qū)域I邊界B點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子離開區(qū)域MNPQ時(shí)的位置
（2）由電場(chǎng)區(qū)域I邊界AB曲線上由靜止釋放電子，電子離開區(qū)域MNPQ時(shí)的最小動(dòng)能
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)Ⅱ整體水平向左移動(dòng)

L

n

（n≥1），要使電子從x=-2L、y=0處離開電場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，在電場(chǎng)區(qū)域I內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出B點(diǎn)距離y軸的距離．由動(dòng)能定理求出電子從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速度．電子離開第一象限電場(chǎng)后，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第二象限電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)：水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式求出水平位移．
（2）設(shè)從AB曲線邊界處釋放位置坐標(biāo)為（x，y），再根據(jù)動(dòng)能定理和類平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法，求出電子從第二象限射出電場(chǎng)的位置．對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，得到電子離開MNPQ時(shí)的動(dòng)能與x的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出最小的動(dòng)能．
（3）設(shè)釋放位置坐標(biāo)為（x，y）．若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向左移動(dòng)

L

n

，要使電子從x=-2L，y=0處離開電場(chǎng)區(qū)域II，電子在電場(chǎng)區(qū)域II中類平拋運(yùn)動(dòng)通過(guò)的水平距離為L(zhǎng)-

L

n

，豎直距離為y，運(yùn)用同樣的方法得到所有位置坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）關(guān)于B點(diǎn)，其縱坐標(biāo)y=L，根據(jù)曲線方程y=

L 2

4x

，求得相應(yīng)坐標(biāo)x=

L

4

電子從B運(yùn)動(dòng)到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得
eE?

L

4

=

1

2

mv2
得v=

eEL 2m

電子以速度v水平射入電場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，做類平拋運(yùn)動(dòng)．
假設(shè)穿出，則有
水平方向：s=vt
豎直方向：L=

1

2

at2，a=

eE

m

解得s=L，即電子恰從P點(diǎn)射出．
（2）設(shè)釋放位置坐標(biāo)為（x，y），則有
eEx=

1

2

mv2
s=vt
y=

1

2

at2=

1

2

eE

m

t²
得到y(tǒng)=

s2

4x

又y=

L2

4x

，解得s=L
即所有從邊界AB上靜止釋放的電子均從P點(diǎn)射出．
從邊界AB出發(fā)到P點(diǎn)射出的全過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
    E_k=eE（x+y）
又y=

L2

4x

，得到
E_k=eE（x+

L2

4x

），根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知，當(dāng)x=y=

L

2

時(shí)，動(dòng)能E_k有最小值E_k=eEL
（3）設(shè)釋放位置坐標(biāo)為（x，y），
eEx=

1

2

mv2
L-

L

n

=vt
y=

1

2

at2
a=

eE

m

解得y=

L2

4x

(1-

1

n

)2
答：
（1）從電場(chǎng)I的邊界B點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子從P點(diǎn)射出；
（2）由電場(chǎng)I的AB曲線邊界處由靜止釋放電子離開MNPQ時(shí)的最小動(dòng)能是eEL；
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向左移動(dòng)

L

n

（n≥1），要使電子從x=-2L，y=0處離開電場(chǎng)區(qū)域II，在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置坐標(biāo)方程為y=

L2

4x

(1-

1

n

)2．

點(diǎn)評(píng)：本題中電子先加速后偏轉(zhuǎn)，基本方法是動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)的分解，難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用求極值和軌跡方程．