Question

磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具，它的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如下模型，固定在列車下端的動(dòng)力繞組可視為一個(gè)矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長(zhǎng)邊MN為l平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖l所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿O x方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ ，最大值為B₀，如圖2所示，金屬框同一長(zhǎng)邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，整個(gè)磁場(chǎng)以速度v₀沿Ox方向勻速平移。設(shè)在短暫時(shí)間內(nèi)，MN、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)問(wèn)的變化可以忽略，并忽略一切阻力。列車在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛，某時(shí)刻速度為v

（v＜v₀）

（1）簡(jiǎn)要敘述列車運(yùn)行中獲得驅(qū)動(dòng)力的原理；

（2）為使列車獲得最大驅(qū)動(dòng)力，寫出MN、PQ邊應(yīng)處于磁場(chǎng)中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿足的關(guān)系式；

（3）計(jì)算在滿足第（2）問(wèn)的條件下列車速度為v時(shí)驅(qū)動(dòng)力的大小。

Answer 1

（1）由于列車速度與磁場(chǎng)平移速度不同，導(dǎo)致穿過(guò)金屬框的磁通量發(fā)生變化，由于電磁感應(yīng)，金屬框中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的安培力即為驅(qū)動(dòng)力�！� （2 d＝(2k＋1)或λ= (k∈N)　　　　（3）　F＝　　　　　　

解析:

（l）由于列車速度與磁場(chǎng)平移速度不同，導(dǎo)致穿過(guò)金屬框的磁通量發(fā)生變化，由于電磁感應(yīng)，金屬框中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的安培力即為驅(qū)動(dòng)力。

（2）為使列車得最大驅(qū)動(dòng)力，MN、PQ應(yīng)位于磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度同為最大值且反向的地方，這會(huì)使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導(dǎo)致框中電流最強(qiáng)，也會(huì)使得金屬框長(zhǎng)邊中電流受到的安培力最大。因此，d應(yīng)為的奇數(shù)倍，即

　　　　　　　　d＝(2k＋1)或λ= (k∈N)　　　　　　　　　　　①

（3）由于滿足第（2）問(wèn)條件，則MN、PQ邊所在處的磁感就強(qiáng)度大小均為B₀且方向總相反，經(jīng)短暫時(shí)間Δt，磁場(chǎng)沿Ox方向平移的距離為v₀Δt，同時(shí)，金屬框沿Ox方向移動(dòng)的距離為vΔt。

　　 因?yàn)?i>v₀＞v，所以在Δt時(shí)間內(nèi)MN邊掃過(guò)的磁場(chǎng)面積

　　　　　　　　S＝(v₀－v)lΔt

　　 在此Δt時(shí)間內(nèi)，MN邊左側(cè)穿過(guò)S的磁通移進(jìn)金屬框而引起框內(nèi)磁通量變化

　　　　　　　　＝B₀l(v₀－v)Δt　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　 同理，該Δt時(shí)間內(nèi)，PQ邊左側(cè)移出金屬框的磁通引起框內(nèi)磁通量變化

　　　　　　　　＝B₀l(v₀－v)Δt　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　 故在內(nèi)金屬框所圍面積的磁通量變化

　　　　　　　　＝＋　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小

　　　　　　　　E＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　　

　　 根據(jù)閉合電路歐姆定律有

　　　　　　　　I＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力

　　　　　F_MN＝B₀Il

PQ邊所受的安培力

　　　　　F_PQ＝B₀Il

根據(jù)左手定則，MN、PQ邊所受的安培力方向相同，此時(shí)列車驅(qū)動(dòng)力的大小

　　　　　F＝F_MN＋F_PQ＝2 B₀Il　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

聯(lián)立解得

　　　　　F＝　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧