Question

14．同步加速器在粒子物理研究中有重要的作用，其基本原理簡(jiǎn)化為如圖所示的模型．M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板，質(zhì)量為M、電荷量為+q的粒子A（不計(jì)重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零．每當(dāng)A進(jìn)入板間，兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁，粒子到加速，當(dāng)A離開N板時(shí)，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱�，兩板外部存在垂直紙面向里的勻�?qiáng)磁場(chǎng)，A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，R遠(yuǎn)大于板間距離，不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)的電磁輻射，不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng)，求
（1）A經(jīng)過(guò)電場(chǎng)第1次加速后獲得的速度v₁大�。�
（2）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（3）A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，動(dòng)能不斷增大，為使R不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)的變化，請(qǐng)寫出經(jīng)過(guò)n次加速后磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大�。�

Answer 1

分析 同步加速器與課本的回旋加速器結(jié)構(gòu)不同，運(yùn)動(dòng)過(guò)程也不同，對(duì)器材的要求也更高，從計(jì)算中可以看出來(lái)．
（1）由動(dòng)能定理直接可以求出A粒子經(jīng)電場(chǎng)第一次加速的速度大小．
（2）由洛侖茲力產(chǎn)生向心力即牛頓第二定律列式就能求出運(yùn)動(dòng)第一周時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）經(jīng)電場(chǎng)n次加速后，速度增加，但又要保持做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑不變，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度也要增加，只是求n次加速后的速度，可以把n次電場(chǎng)力做的功合為一整體，即nqU，由動(dòng)能定理求出n次加速的速度，同樣道理再求出第n周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）A粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：
  $qU=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
  解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）A粒子在磁場(chǎng)中做錯(cuò)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
  $q{v}_{1}{B}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
  解得：${B}_{1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（3）由于粒子不斷加速，但半徑不變，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度相應(yīng)要變化，在
  經(jīng)過(guò)n次加速后，由動(dòng)能定理：
  $nqU=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}$
  再由洛侖茲力提供向心力得：
  $q{v}_{n}{B}_{n}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{R}$ 
  解得：${B}_{n}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$
答：（1）A經(jīng)過(guò)電場(chǎng)第1次加速后獲得的速度v₁大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（3）A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，為使R不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)的變化，經(jīng)過(guò)n次加速后磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大小為$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題沒(méi)什么新意，只是反復(fù)利用動(dòng)能定理和牛頓第二定律列式，求出最初和n次加速后相同半徑下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度．但想強(qiáng)調(diào)的是這種同步加速器與回旋加速器在構(gòu)造上和運(yùn)動(dòng)過(guò)程上區(qū)別，前者半徑不變而磁感應(yīng)強(qiáng)度不斷增加、加速電場(chǎng)不變，后者加速電場(chǎng)不斷變向，磁感應(yīng)強(qiáng)度不變、運(yùn)動(dòng)半徑不斷增大，但最終有一個(gè)最大值．