Question

一質(zhì)量M=0.8kg的中空的、粗細(xì)均勻的、足夠長的絕緣細(xì)管，其內(nèi)表面粗糙、外表面光滑；有一質(zhì)量為m=0.2kg、電荷量為q=0.1C的帶正電滑塊以水平向右的速度進(jìn)入管內(nèi)，如圖甲所示．細(xì)管置于光滑的水平地面上，細(xì)管的空間能讓滑塊順利地滑進(jìn)去，示意圖如圖乙所示．運(yùn)動過程中滑塊的電荷量保持不變．空間中存在垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0T．（取水平向右為正方向，g=10m/s²）



（1）滑塊以v₀=10m/s的初速度進(jìn)入細(xì)管內(nèi)，則系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？
（2）滑塊最終的穩(wěn)定速度 v_t取決于滑塊進(jìn)入細(xì)管時(shí)的初速度v₀
①請討論當(dāng)v₀的取值范圍在0至60m/s的情況下，滑塊和細(xì)管分別作什么運(yùn)動，并求出v_t和v₀的函數(shù)關(guān)系？
②以滑塊的初速度v₀橫坐標(biāo)、滑塊最終穩(wěn)定時(shí)的速度v_t為縱坐標(biāo)，在丙圖中畫出滑塊的v_t-v₀圖象（只需作出v₀的取值范圍在0至60m/s的圖象）．

Answer 1

（1）小球剛進(jìn)入管內(nèi)時(shí)受到洛侖茲力為：F_洛=qv₀B=1N     ①
依題意小球受洛侖茲力方向向上，F(xiàn)_洛＜mg=2N，小球與管的下壁有彈力，摩擦使球減速至最終與細(xì)管速度相同時(shí)，兩者以共同速度v運(yùn)動          
由動量守恒定律：mv₀=（m+M）v            ②
對系統(tǒng)：由能量守恒定律：

1

2

m

v

20

=Q+

1

2

(m+M)

v

2

    ③
由②③得：Q=8 J 
故系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為8J．
（2）①分析：當(dāng)滑塊對管的上下壁均無壓力時(shí)，滑塊進(jìn)入細(xì)管的速度滿足：mg=qv'₀B    ④
得：v'₀=20m/s
下面分a、b兩種情況進(jìn)行討論分析：
a、當(dāng)滑塊初速小于v₀=20m/s時(shí)，F(xiàn)_洛＜mg，滑塊與管的下壁有彈力，并有摩擦力，使滑塊作勻減速直線運(yùn)動，細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動，最終兩者共速
對系統(tǒng)：依動量守恒定律：mv₀=（m+M）v_t ⑤
代入數(shù)據(jù)得：v_t=0.2v₀ ⑥（0＜v₀＜20m/s）
b、當(dāng)滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時(shí)，滑塊與管的上壁有彈力，摩擦使滑塊減速最終速度為 v_t=20m/s，而細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動，加速到V′⑧
當(dāng)滑塊以初速度為v₀進(jìn)入，若恰好V′=v_t=20m/s，則對系統(tǒng)依動量守恒定律有：mv₀=（m+M）V′
可得：v₀=100m/s＞60m/s，
當(dāng)滑塊以v₀=60m/s進(jìn)入時(shí)，f_洛=qv₀B=6N＜（m+m）g=10N
∴細(xì)管工不會離開地面．
可見：當(dāng)滑塊以初速度20m/s≤v₀≤60m/s進(jìn)入細(xì)管時(shí)，細(xì)管最終不能加速到20m/s
故當(dāng)滑塊初速小于v₀=20m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動，細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動，最終兩者以相同的速度一起勻速運(yùn)動；
當(dāng)滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到20m/s時(shí)，開始運(yùn)動運(yùn)動，細(xì)管開始做勻加速運(yùn)動，后做勻速運(yùn)動，且速度小于20m/s．
②根據(jù)以上分析得出滑塊的v_t-v₀圖象如下所示：