Question

20．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中有兩條光滑固定的平行金屬導軌MN、PO，導軌足夠長，間距為L，其電阻不計，導軌平面與磁場垂直，ab、cd為兩根相同的、垂直于導軌水平放置的金屬棒，電阻均為R，質量均為m，與金屬導軌平行的水平細線一端固定，另一端與cd棒的中點連接，細線能承受的最大拉力為T，一開始細線處于伸直狀態(tài)，ab棒在平行導軌的水平拉力的作用下以加速度a向右做勻加速直線運動，兩根金屬棒運動時始終與導軌接觸良好且與導軌相垂直．
（1）求經多長時間細線被拉斷？
（2）求細線被拉斷前，對ab棒的水平拉力隨時間變化關系．
（3）若在細線被拉斷瞬間撤去水平拉力，求此后電路中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做勻加速運動進，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產生感應電動勢和感應電流，cd受到向右的安培力作用，當安培力大小等于細線的最大拉力時，細線被拉斷．根據 E=BLv、I=$\frac{E}{2R}$、F=BIL，v=at，推導出安培力F的表達式，根據根據F=T，即可求得時間t；
（2）對ab進行受力分析，由牛頓第二定律可求得水平拉力隨時間的變化關系；
（3）根據系統(tǒng)動量守恒求得兩棒勻速運動時的速度，根據能量守恒求解回路總共產生的焦耳熱．

解答 解：（1）設繩被拉斷時回路中的電流為I，設拉斷時棒ab中電動勢為E，速度為v，運動時間為t，則有
感應電動勢  E=BLv 
感應電流  I=$\frac{E}{2R}$
又 v=at 
cd棒所受的安培力為 F_安=BIL
聯(lián)立解得，F(xiàn)_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$
細線即將拉斷時，對cd有：T=F_安；
解得：t=$\frac{2TR}{a{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）對ab棒受力分析可知：其受拉力與安培力的作用而做勻加速直線運動；
則有：F_ab-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$=ma；
故F_ab=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$+ma；
（3）在細線被拉斷瞬間撤去水平拉力，設此后兩棒勻速運動時的相同速度為v′，取向右為正方向，據系統(tǒng)的動量守恒得：
  mv=2mv′
線斷后回路中產生的焦耳熱為
  Q=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$×2mv²；
解得：Q=$\frac{m{T}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）經$\frac{2TR}{a{B}^{2}{L}^{2}}$時間細線被拉斷．
（2）細線被拉斷前，對ab棒的水平拉力隨時間變化關系為F_ab=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$+ma；
（3）若在細線被拉斷瞬間撤去水平拉力，此后電路中產生的焦耳熱為$\frac{m{T}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題雙桿模型，當cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產生感應電動勢，關鍵要會推導安培力的表達式．當cd棒也運動時，關鍵要正確分析兩棒的運動情況，根據動量守恒和能量守恒結合求解熱量．