Question

如圖甲所示的坐標(biāo)系中，第四限象內(nèi)存在垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x方向的寬度OA=20

3

cm，y方向無限制，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1×10^-4T．現(xiàn)有一比荷為

q

m

=2×10¹¹C/kg的正離子以某一速度從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，α=60°，離子通過磁場(chǎng)后剛好從A點(diǎn)射出．

（1）求離子進(jìn)入磁場(chǎng)B₀的速度的大�。�
（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)B₀后，某時(shí)刻再加一個(gè)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使離子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；
（3）離子進(jìn)入磁場(chǎng)B₀后，再加一個(gè)如圖乙所示的變化磁場(chǎng)（正方向與B₀方向相同，不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的電場(chǎng)），求離子從O點(diǎn)到A點(diǎn)的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑可由幾何關(guān)系求得，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得速度；
（2）由Bqv=

mv2

r

知，B越小，r越大．設(shè)離子在磁場(chǎng)中最大半徑為R，幾何關(guān)系求得半徑，再根據(jù)向心力公式即可求得B，進(jìn)而求出外加磁場(chǎng)最小值；
（3）先算出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第一次遇到外加磁場(chǎng)的過程中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，由幾何關(guān)系求出此時(shí)施加附加磁場(chǎng)時(shí)離子在磁場(chǎng)中能做的圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑，根據(jù)向心力公式求出離子在有附加磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)半徑，判斷粒子是否能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)照外加磁場(chǎng)的規(guī)律求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，最后求得總時(shí)間．

解答：解：（1）如圖所示，由幾何關(guān)系得離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑r₁=0.2m
離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力
Bqv=

mv2

r1

求得：v=4×10⁶m/s
（2）由Bqv=

mv2

r

知，B越小，r越大．設(shè)離子在磁場(chǎng)中最大半徑為R
由幾何關(guān)系得：R=0.05m
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得B1qv=

mv2

r

求得B₁=4×10^-4T
則外加磁場(chǎng)△B1=3×10-4T
（3）離子在原磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期
T1=

2πm

Bq

=π×10-7s
離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第一次遇到外加磁場(chǎng)的過程中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角
θ1=

π 12 ×10-7

π×10-7

×2π=

π

6

此時(shí)施加附加磁場(chǎng)時(shí)離子在磁場(chǎng)中能做的圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為r₂
由幾何關(guān)系知：r2=(

1

3

-

3

9

)×0.2≈0.028m
離子在有附加磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)半徑為r₃
則B2qv=

mv2

r3

，求得r3=

1

60

≈0.017m
因r₃＜r₂，所以離子能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
離子在外加磁場(chǎng)后時(shí)，T2=

2πm

B2q

=

π

12

×10-7s
對(duì)照外加磁場(chǎng)的規(guī)律可知，每隔

π

12

×10-7s離子在周期性外加磁場(chǎng)時(shí)，離子恰可做一次完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，共做三次，最后在A點(diǎn)離開磁場(chǎng)．
離子從O點(diǎn)進(jìn)入到A點(diǎn)射出的總時(shí)間為
t=

2π 3 m

Bq

+

6πm

B2q

=

π

2

×10-7s
答：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)B₀的速度的大小為4×10⁶m/s；
（2）所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為3×10^-4T；
（3）離子從O點(diǎn)到A點(diǎn)的總時(shí)間為

π

2

×10-7s．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．要求同學(xué)們能正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．