Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外，大小可調(diào)的勻強(qiáng)磁場．M、N為兩塊中心開有小孔的極板，每當(dāng)帶電粒子經(jīng)過M、N板時(shí)，都會(huì)被加速，加速電壓均為U；每當(dāng)粒子飛離電場后，M、N板間的電勢差立即變?yōu)榱悖�粒子在M、N間的電場中一次次被加速，動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑R不變（M、N兩極板間的距離遠(yuǎn)小于R）．當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子靜止在M板小孔處；M、N間間距很小，粒子在M、N間的電場中的加速時(shí)間可忽略不計(jì)；
（1）求粒子繞行n圈回到M板時(shí)的動(dòng)能E_n；
（2）為使粒子始終保持在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場必須周期性遞增；求粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）求粒子繞行n圈所需總時(shí)間t_n．

Answer 1

分析：帶電粒子以一定的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)磁場一定時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期僅與粒子的比荷有關(guān)，而在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間還與偏轉(zhuǎn)角有關(guān)．當(dāng)入射速度越大時(shí)，磁場及粒子的比荷不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑越大；而當(dāng)軌跡半徑及粒子的比荷不變時(shí)，則磁場必須變化．

解答：解：（1）粒子繞行一圈動(dòng)能的增量為qU，繞行n圈所獲得的總動(dòng)能：E_n=nqU
（2）因?yàn)?span id="mumgmaa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">nqU=

1

2

m

v

2 n

       
qBnvn=

m v 2 n

R

                    
得Bn=

1

R

2nmU q

        
（3）粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每一圈所用時(shí)間為

2πR

v

，
由于第一圈速度不同，所以每一圈所需時(shí)間也不同
第一圈：qU=

1

2

m

v

2 1

                    v1=

2qU m

第二圈：2qU=

1

2

m

v

2 2

                  v2=

2?2qU m

…
第n圈的速度                         vn=

n?2qU m

         
故繞行n圈所需總時(shí)間tn=t1+t2+t3+…+tn=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)
答：（1）求粒子繞行n圈回到M板時(shí)的動(dòng)能nqU；
（2）粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小Bn=

1

R

2nmU q

；
（3）求粒子繞行n圈所需總時(shí)間tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑．同時(shí)體現(xiàn)控制變量的方法，在粒子的比荷、半徑一定的情況下，粒子的速度與磁場成正比．